Игры-фокусы. Кто что взял? Фокус “Угадать задуманный день недели”

«Серия «МГУ-школе» основана в 1999 году Потапов М. К. П Математика. Методические рекомендации. 5 класс: пособие для...»

-- [ Страница 4 ] --

694. а) Даны разложения чисел а и b на простые множители. Найдите НОД (а, b) и НОК (а, b): а = 23 34 5, b = 24 35 52.

Решение. НОД (а, b) = 23 34 5; НОК (а, b) = 24 35 52.

699. Из двух сцепленных шестерёнок одна имеет 16 зубцов, а другая - 28 зубцов. До начала вращения шестерёнок соприкасающиеся зубцы пометили мелом. Через какое наименьшее число оборотов каждой шестерёнки метки будут совпадать?

Решение. Так как НОК (16, 28) = 112, то первая шестерёнка должна сделать 112: 16 = 7 оборотов, а вторая шестерёнка - 112: 28 = 4 оборота.

Ответ. 7 оборотов и 4 оборота.

Промежуточный контроль. ДМ. С–12.

Дополнения к главе 3

1. Использование чётности при решении задач В данном пункте учебника рассмотрены решения задач, в которых используется идея чётности чисел. Здесь рассмотрена задача о рисовании так называемых уникурсальных фигур (которые рисуются без отрыва карандаша от бумаги).

Решения и комментарии

701. Некто утверждает, что знает 4 натуральных числа, произведение и сумма которых - нечётные числа. Не ошибается ли он?

Решение. Ошибается, так как если произведение натуральных чисел нечётное, то все эти четыре числа нечётные, тогда их сумма должна быть чётной.

702. Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разорвали или на 7, или на 9 частей. Некоторые из образовавшихся частей разорвали или на 7, или на 9 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 частей?

Решение. Если рвать лист на 7 или 9 частей, то число кусков бумаги будет увеличиваться на 6 или на 8, т. е. на чётное число. Если к нечётному числу 9 прибавить несколько раз чётное число, то получится нечётное число. Число 100 получить невозможно. Поэтому имея 9 кусков (листов) бумаги и увеличивая их число на 6 или на 8, невозможно получить 100 кусков бумаги.

703. Записано четыре числа: 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 равных числа?

Решение. Прибавляя по 1 сразу к двум числам, мы на 2 увеличиваем первоначальную нечётную сумму 0 + 0 + 0 + 1 = 1. В результате каждой такой операции получится нечётное число. Четыре одинаковых числа (т. е. чётную сумму) получить невозможно.

711. Экскурсоводу нужно выбрать маршрут по залам музея так, чтобы обойти все залы, не проходя ни через одну дверь дважды. Где нужно начать и где закончить осмотр? Найдите один из возможных маршрутов (рис. 37).

Решение. Среди залов музея есть только два - 5-й и 8-й, имеющие нечётное число дверей. Следовательно, начать эксурсию в соответствии с условиями задачи можно в одном из них, а закончить в другом. В остальных залах чётное число дверей - они будут пройдены по одному разу, а 6-й и 7-й залы (в которых по 4 двери) - два раза. Возможный маршрут: 5, 1, 2, 6, 5, 9, 10, 6, 7, 11, 12, 8, 4, 3, 7, 8.

2. Исторические сведения В данном пункте учебника приведены сведения о простых числах, о решете Эратосфена, «формула» простых чисел Л. Эйлера, сформулированы некоторые решённые и нерешённые задачи, связанные с простыми числами.

3. Занимательные задачи Решения и комментарии

714. а) Почему после «просеивания» чисел, кратных 2, 3, 5, 7, в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа?

б) На каком числе следует остановить «просеивание», если в таблице будет 150; 10 000 первых натуральных чисел?

Решение. а) Когда среди первых 100 натуральных чисел вычеркнули те, которые кратны простым числам 2, 3, 5, 7, вычеркнутыми оказались числа, кратные натуральным числам от 2 до 10. При этом в таблице будут вычеркнуты все составные числа, так как наименьшее составное число, не делящееся ни на одно из натуральных чисел от 2 до 10, есть 11 11 = 121, но оно больше 100 и в таблице его нет.

б) Если чисел будет 150, то «просеивание» надо остановить на простом числе 11, так как при этом все числа, кратные натуральным числам от 2 до 12, окажутся вычеркнутыми. В этом случае в таблице будут вычеркнуты все составные числа, так как наименьшее составное число, не делящееся ни на одно из натуральных чисел от 2 до 12, есть 13 13 = 169, но оно больше 150 и в таблице его нет.

Если же чисел будет 10 000, то «просеивание» надо остановить на простом числе 97, так как при этом все числа, кратные натуральным числам от 2 до 100, окажутся вычеркнутыми. В этом случае в таблице будут вычеркнуты все составные числа, так как наименьшее составное число, не делящееся ни на одно из натуральных чисел от 2 до 100, есть 101 101 = 10 201, но оно больше 10 000 и в таблице его нет.

715. а) Петя придумал новую формулу для нахождения простых чисел:

П2 + п + 41. Для любых ли натуральных п число Р простое?

Решение. Нет. Для простого числа 41 число Р = 412 + 41 + 41 делится на 1, на 41 и на Р, т. е. число Р составное.

718. Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.

Решение. Сначала надо убедиться, что получаемая разность всегда будет делиться на 9. Пусть дано трёхзначное число abc = 100a + 10b + c. Переставим цифры этого числа, например, так: bca = 100b + 10c + a. Если первое число больше второго, то их разность abc – bca = 100a + 10b + c – 100b – 10c – a = 99a – 90b – 9c - натуральное число, оно делится на 9. При других перестановках цифр разности 100a – a, 100a – 10a, 10a – a и др. делятся на 9, поэтому получаемая разность всегда будет делиться на 9.

Теперь зачёркнутую цифру легко определить, так как сумма цифр разности должна делиться на 9.

Например, если задумали число 347, после перестановки цифр получили 473, тогда разность 473 – 347 = 126. Сумма цифр 1 + 2 + 6 делится на 9, а если зачеркнуть, например, 1, то сумма незачёркнутых цифр 2 + 6 = 8. Так как до ближайшего числа, кратного 9, не хватает 1, то зачёркнутая цифра 1.

721. Старший брат выписал из справочника число 15! (см. задачу 719), а Вася случайно поставил в его тетради кляксу на одну цифру. Вот что из этого получилось (рис. 38).

– – –

при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее? Решите задачу: а) для четырёх колец; б) для пяти колец.

Решение. Это пример задачи, имеющей большой воспитательный потенциал. На её примере можно показать, как математики решение следующей задачи умеют сводить к уже решённой.

Сначала решим задачу для двух колец. Очевидно, что пирамиду из двух колец можно перенести за три хода.

Чтобы перенести пирамиду из трёх колец, сначала перенесём на свободный штырёк пирамиду из двух колец. Для этого требуется 3 хода. Перенесём нижнее кольцо на свободный штырёк. Наконец, опять за три хода перенесем пирамиду из двух колец на тот штырёк, где уже находится большее кольцо. Пирамиду из трёх колец можно перенести за 3 + 1 + 3 = 7 ходов.

а) Рассуждая аналогично, пирамиду из четырёх колец перенесём за 7+1 + 7 = 15 ходов.

б) Пирамиду из пяти колец перенесём за 15 + 1 + 15 = 31 ход.

Глава 4. Обыкновенные дроби В этой главе изучаются в полном объёме обыкновенные дроби по плану, намеченному в главе 1.

Важно, чтобы каждый учащийся понял, что действия с обыкновенными дробями сводятся к нескольким действиям с натуральными числами. Здесь снова вводятся элементы доказательных рассуждений при изучении теоретического материала, а также решение текстовых задач арифметическими способами.

Цели изучения главы:

Сформировать у учащихся осознанные умения выполнять арифметические действия над обыкновенными дробями;

Продолжить развитие языка и логического мышления учащихся при изучении теоретического материала и при решении текстовых задач арифметическими методами.

4.1. Понятие дроби

В данном пункте учебника вводятся понятия обыкновенной дроби (коротко:

дроби), её числителя и знаменателя, рационального числа. Отмечается, что любое натуральное число считается дробью со знаменателем 1. Первый пункт нацелен на формирование понятия дроби и подготовки учащихся к изучению сравнения дробей и арифметических действий с ними. Здесь решаются простейшие задачи на дроби, ведётся подготовка к решению задач на совместную работу. Поэтому надо особенно внимательно отнестись ко всем заданиям пункта, даже если они кажутся простыми. Однако подводить учащихся к формулировкам правил решения таких задач рано, это можно будет сделать при изучении пункта 4.3. А пока главным объектом изучения является дробь, задачи лишь помогают лучше понять, что показывают её числитель и знаменатель.

РТ. При изучении данного пункта можно использовать задания 269–281.

Решения и комментарии

745. Из пакета с картофелем, вес которого 3 кг, отсыпали 1 кг. Какая часть картофеля осталась в пакете?

– – –

Решение. Путник пройдёт весь путь за 5 ч.

749. а) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. На какую часть первоначального расстояния они сближались каждый час?

– – –

сокращения дроби и несократимой дроби.

Обратим внимание, что эти разъяснения, данные для длин отрезков (можно было бы дать их для кругов, тортов и т.п.), не доказывают основное свойство дроби, а только иллюстрируют его. Тот факт, что дробь есть частное её числителя и знаменателя, устанавливается пока для того случая, когда числитель дроби делится нацело на знаменатель. Учащимся можно сказать, что позднее (после изучения деления дробей) будет доказано, например, что = 2: 3, поэтому дробь иногда читают «2, делённое на 3». Пытаться проиллюстрировать этот факт, например, с помощью двух яблок, которые хотят разделить на 3 равные части, сейчас не стоит, так как в данный момент ещё не известно, что есть результат деления натурального числа 2 на натуральное число 3. Рассуждения с яблоками можно рассматривать лишь как мотивацию предстоящего доказательства равенства 2: 3 =.

Заметим, что при сокращении дробей на первых порах лучше записывать числитель и знаменатель в виде произведения двух чисел (см. решение задания 775), затем делить числитель и знаменатель на их общий множитель. Такая запись позволяет донести до ученика суть выполняемого действия. Торопить переход ученика к свёрнутой записи сокращения дроби не следует, он сам её освоит, как только во всём разберётся. При этом не надо стремиться к поиску наибольшего общего делителя числителя и знаменателя, пусть ученик сокращает дробь поэтапно. Желание экономить время в конце концов заставит его сокращать числитель и знаменатель дроби на возможно больший множитель.

РТ. При изучении данного пункта можно использовать задания 282–289.

Решения и комментарии

775. а) Сократите дробь.

Решение. 3 = = = =.

4.3. Задачи на дроби По способам действия задачи, решаемые в данном пункте учебника, знакомы учащимся. Они уже решали такие задачи, знакомясь с понятием дроби.

Но в данном пункте они воспринимаются учащимися уже как объект изучения.

Для однотипных задач (найти часть целого…, найти целое по его части…) рассматриваются общие способы решения, формулируются правила их решения.

Задачи расположены по нарастанию сложности. Если задачи 776 и 777 на нахождение части числа, то следующие задачи для своего решения требуют дополнительных действий (чтобы узнать, сколько всего, сколько осталось и т. п.).

Если учащиеся испытывают затруднения в решении задач, то можно посоветовать им рисовать схематические рисунки, чтобы понять условие задачи и наметить свои действия для её решения. Здесь они могут опираться на умения рисовать отрезок, его часть, выраженную данной дробью и т. п.

Задания 788–790 на увеличение (уменьшение) данного числа на указанную его часть готовят учащихся к решению аналогичных задач на проценты (6 класс).

РТ. При изучении данного пункта можно использовать задания 296–303.

Решения и комментарии

777. а) На ветке сидели 12 птиц; из них улетели. Сколько птиц улетело?

Решение. На примере этой задачи покажем применение схематического рисунка. Находим от 12 птиц. Эту величину изобразим отрезком (рис. 40).

– – –

4 2 = 8 (птиц).

Можно объединить эти два действия, записав решение задачи с помощью числового выражения:

12: 3 2 = 8 (птиц) - улетели.

Ответ. 8 птиц.

780. б) В коллекции 45 юбилейных рублёвых монет. Число трёх- и пятирублёвых монет составляет числа рублёвых монет. Сколько всего юбилейных монет достоинством в один, три и пять рублей в коллекции?

Решение. Здесь учащихся будет сбивать тот факт, что нельзя отдельно определить число трёх- и пятирублёвых монет в отдельности.

1) 45: 9 2 = 10 (монет) - число трёх- и пятирублёвых монет;

2) 45 + 10 = 55 (монет) - в один, три и пять рублей.

Ответ. 55 монет.

781. а) 12 р. составляют имеющейся суммы денег. Какова эта сумма?

– – –

из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из наследников?

1) 48 000: 8 = 6000 (р.) - жене;

2) 48 000 – 6000 = 42 000 (р.) - детям;

3) 2 + 2 + 2 + 1 = 7 (частей) - приходится на 42 000 р.;

4) 42 000: 7 = 6000 (р.) - дочери;

5) 6000 2 = 12 000 (р.) - каждому сыну.

Ответ. 6000 р., 6000 р., 12 000 р., 12 000 р., 12 000 р.

791. Из папируса Ахмеса (Египет, ок. 2000 лет до н. э.). Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:

Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?

Пастух отвечает:

Я привожу две трети от трети скота.

Сколько быков в стаде?

Решение. Начнём с замечания, что в те давние годы египтяне ещё не знали дробей, кроме аликвотных (имеющих в числителе единицу) и дроби. Только для таких дробей у них были соответствующие обозначения в виде иероглифов.

Поэтому дробь выражена в задаче как «две трети от трети».

– – –

2) 25: 5 11 = 55 (км) - длина дороги.

Ответ. 55 км.

303(РТ). Туристы проплыли на байдарках 125 км, и им осталось проплыть длины всего маршрута. Какова длина маршрута?

– – –

2) 125: 25 32 = 160 (км) - длина маршрута.

Ответ. 160 км.

Промежуточный контроль. ДМ. С–13.

4.4. Приведение дробей к общему знаменателю В данном пункте учебника вводятся понятия: общий знаменатель, приведение к общему знаменателю, дополнительный множитель. Умение приводить дроби к общему знаменателю лежит в основе сравнения, сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Поэтому это умение должно быть надёжно сформировано.

Прежде всего, отметим, что приведение дробей к наименьшему общему знаменателю не является обязательным требованием, поэтому отыскание НОК числителя и знаменателя не является обязательным элементом решения этой задачи. Другое дело, что решение без приведения дробей к наименьшему общему знаменателю может оказаться неэкономным и потребует сокращения полученных дробей. В примере 1 показано приведение дробей и к знаменателю 8 12 =

Для поиска наименьших дополнительных множителей двух дробей можно предложить учащимся такое решение (вычисления в простых случаях выполняются устно, а в сложных - на черновике). Разделим знаменатели 8 и 12 на их общий делитель 4, получим 2 и 3 соответственно. Так как 2 и 3 - взаимно простые числа, то 2 - дополнительный множитель второй дроби, а 3 - дополнительный множитель первой дроби.

При записи приведения дробей к общему знаменателю рекомендуем преобразование каждой дроби писать в отдельной строке:

– – –

перехода к следующему этапу рассуждения, что в дальнейшем будет приводить к ошибочным записям решений при сравнении дробей. Образец правильной записи решения приведён в задании 290 (РТ).

В простых случаях наименьший общий знаменатель двух дробей можно искать так. Разделить больший знаменатель на меньший. Если деление выполняется нацело, то делимое и есть наименьший общий знаменатель двух дробей. Если нет, то больший знаменатель умножают на 2, 3, 4, 5, …, проверяя каждый раз, делится ли произведение на второй знаменатель. Как только произведение разделится на второй знаменатель, то оно и есть наименьший общий знаменатель двух дробей.

В приведённом выше примере 12 не делится на 8, а 12 2 = 24 делится на 8, 24: 8 = 3 - дополнительный множитель первой дроби, а 2 - дополнительный множитель второй дроби.

РТ. При изучении данного пункта можно использовать задание 290.

– – –

Замечание. Можно ограничиться доказательством для дробей с одинаковым числителем 1 (если обе дроби имеют одинаковые числители k, то из неравенства m n следует неравенство mk nk, но это свойство неравенств в учебнике не доказано). Если учащиеся класса ещё не готовы к восприятию доказательства в общем виде, то можно отметить, что та дробь, у которой знаменатель меньше, получит больший дополнительный множитель, поэтому после приведения дробей к общему знаменателю из неё получится большая дробь.

816. В некоторых случаях бывает удобно сравнивать не сами дроби, а их «дополнения» до единицы. Например, сравним дроби и. Чтобы из первой дроби получить 1, надо добавить, а чтобы из второй дроби получить 1, надо добавить меньше:. Следовательно, вторая дробь больше:.

– – –

Промежуточный контроль. ДМ. С–15.

4.6. Сложение дробей В данном пункте учебника вводятся правила сложения для дробей с общим знаменателем и дробей с разными знаменателями.

Обратим внимание на то, что если знаменатели двух дробей - взаимно простые числа, то общим знаменателем этих дробей будет произведение их знаменателей и сложение дробей выполняется по формуле p r ps + rq +=. (1) qs qs Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами (имеют общий делитель, отличный от 1), то по формуле (1) также можно получить верный ответ, но полученная дробь обязательно будет сократимой.

Мы не считаем необходимым требовать от слабого ученика приведения дробей к наименьшему общему знаменателю, но если он вычисляет сумму по формуле (1), то должен не забывать сокращать полученную дробь.

Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами, то при отыскании общего знаменателя этих дробей можно поступать разными способами. Покажем это на примерах.

4/ 5/ 2) + = + =.

В первом случае один знаменатель делится на другой и является общим знаменателем этих дробей, дополнительный множитель первой дроби находим делением: 24: 3 = 8.

Во втором случае для нахождения общего знаменателя данных дробей можно убедиться, что 30 не делится на 24, 30 2 = 60 не делится на 24, 30 3= = 90 не делится на 24, а 30 4 = 120 делится на 24 и 120: 24 = 5 - дополнительный множитель второй дроби, а 120: 30 = 4 - дополнительный множитель первой дроби.

Но можно начать с отыскания дополнительных множителей дробей.

Разделим знаменатели дробей 30 и 24 на их общий делитель 2, получим числа 15 и 12. Теперь разделим числа 15 и 12 на их общий делитель 3, получим 5 и 4 - взаимно простые числа. Они и являются дополнительными множителями данных дробей. Если ученик сразу заметит, что 30 и 24 имеют общий делитель 6, то он быстрее придёт к нужному результату. Чтобы этим вычислениям добавить опору на зрительное восприятие, можно в сторонке или под знаменателями данных дробей делать запись, необходимость в которой после достаточной тренировки отпадёт. Числа 15, 12, 5 и 4 удобно писать на черновике, приложенном под знаменатели написанных дробей (рис. 42).

– – –

Обратим внимание, что применение законов сложения и сокращения дробей позволило приводить дроби к знаменателю 120, а не 360.

860. Отпили полчашки чёрного кофе и долили ее молоком. Потом отпили чашки и долили её молоком. Потом отпили чашки и долили её молоком.

Наконец, допили содержимое чашки до конца. Чего выпили больше: кофе или молока?

Решение. При решении этой задачи учащиеся часто путаются в ненужных промежуточных подсчётах. Надо посоветовать им подсчитать, сколько молока

– – –

Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами (имеют общий делитель, отличный от 1), то по формуле (1) также можно получить верный ответ, но полученная дробь обязательно будет сократимой.

Мы не считаем необходимым требовать от слабого ученика приведения дробей к наименьшему общему знаменателю, но если он вычисляет разность по формуле (1), то он должен не забывать сокращать полученную дробь.

Обратим внимание на задание 870, где требуется найти число x, для которого верно равенство. В учебнике такие задания не формулируются как задания на решение уравнений, так как уравнения будут изучаться позже, но если учащиеся класса владеют терминами «корень уравнения», «решить уравнение», если они решали в начальной школе многоходовые задания по поиску корня уравнения (например, такого 98 – (49 – x) = 50), то аналогичные задачи можно давать сильным учащимся и для дробей. Только следует иметь в виду, что использовать шесть правил нахождения компонентов арифметических действий (неизвестного слагаемого, …) имеет смысл лишь для развития речи учащихся, а с точки зрения решения уравнений они находят применение на короткое время - до изучения правил раскрытия скобок, правила переноса слагаемого в другую часть уравнения с противоположным знаком. Поэтому увлекаться заданиями такого рода и перегружать ими слабых учащихся не следует.

Что касается текстовых задач, то они усложняются: в одних случаях для решения задачи придётся из единицы вычитать дробь, в других - к единице прибавлять дробь. Часто лучшему восприятию условий задачи помогают схематические рисунки. Делать их полезно, но не обязательно, если ученик и без рисунка справляется с задачей.

Задание 881 готовит учащихся к решению задач на совместную работу.

РТ. При изучении данного пункта можно использовать задания 308–311.

– – –

второй день оставшиеся 15 км. Какова длина маршрута?

г) Сейчас у Васи в коллекции 200 марок. Известно, что за последний год число марок в коллекции увеличилось на. Сколько марок было в коллекции год

– – –

2) 6: 3 10 = 20 (р.) - стоит 1 м тесьмы.

Ответ. 20 р.

882. Машинистка перепечатала третью часть рукописи, потом ещё 10 страниц. В результате она перепечатала половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?

– – –

совместной работы.

Ответ. часть бассейна.

4.10. Законы умножения. Распределительный закон В данном пункте учебника вводятся переместительный и сочетательный законы умножения и распределительный закон для дробей. Обратим внимание на то, что два первых закона доказываются для конкретных дробей, но так, что если вместо чисел в числителях и знаменателях поставить буквы, то получится их полное доказательство со ссылкой на соответствующие законы для натуральных чисел и правило (определение) умножения дробей. Распределительный закон доказан в общем виде для дробей, приведённых к общему знаменателю. Первые два закона сильные учащиеся также могут доказать в общем виде.

В учебном тексте не упоминается терминология, применяемая при использовании распределительного закона: «раскроем скобки, применяя распределительный закон», «вынесем общий множитель за скобки», но при выполнении заданий учитель должен её активно использовать и просить учащихся комментировать свои действия при выполнении заданий, применяя эту терминологию.

Отметим, что изучение законов умножения для дробей даёт учителю дополнительные возможности для усиления мотивации учения, так как на нескольких выигрышных примерах можно показать, что не владея этими законами, ученик обречён на долгие и, возможно, ошибочные вычисления, а применение законов позволяет ему в ряде случаев проводить вычисления устно (задание 919 и др.). Однако начинать вычисления с использованием законов надо с подробной записи всех шагов, чтобы исключить их непонимание.

Решения и комментарии Вычислите, используя законы умножения (918–919).

– – –

921. Дано выражение.

а) Каким натуральным числом надо заменить букву a, чтобы можно было устно найти значение этого выражения?

б) Какое натуральное число a можно взять, чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем13? со знаменателем17? натуральным числом? нулём?

Решение. Очевидно, что если вместо a подставить любое число, то значение выражения не всегда можно вычислить устно.

Вынесем общий множитель за скобки:

– – –

для обсуждения и проверки понимания усвоенного теоретического материала.

Можно спросить учащихся, верный ли ответ получился в результате. Как это проверить? Учащиеся обычно предлагают перемножить частное и делитель - дроби и. В результате получится. Учащихся можно спросить, во всех ли случаях удобно пользоваться таким приёмом вычисления. А в каких удобно? Дети ответят: в тех случаях, когда числитель первой дроби делится на числитель второй, и знаменатель первой дроби делится на знаменатель второй. Очевидно, что такие обсуждения улучшают понимание теоретического материала и развивают мышление учащихся. Рассмотрим примеры.

937. г) Вычислите: :.

Решение. Заменим деление на умножением на обратную дробь и

– – –

Замечание. В рассмотренных примерах большого упрощения вычислений не получилось, но польза для учащихся от такой работы несомненна.

Промежуточный контроль. ДМ. С–17.

4.12. Нахождение части целого и целого по его части В данном пункте учебника вводится новый способ решения задач на дроби, связанный с умножением (делением) на дробь. При решении задач можно использовать схематические рисунки, чтобы наглядно показать величину, от которой находят часть, саму эту часть, что известно и что требуется найти.

Использование рисунков особенно эффективно при решении более сложных задач, в которых требуется находить часть не только от данного числа, но и от остатка.

Для успешного решения задач, в которых дана часть неизвестного числа, полезно показать, почему то число, часть которого выражена дробью, удобно принимать за единицу (см. решение задачи 944).

Решения и комментарии этой суммы.

944. а) Уменьшите 900 р. на

б) Увеличьте 150 р. на этой суммы.

Решение. а) 1) 900 = 300 (р.) - на такую сумму уменьшили 900 р.;

– – –

решения задач на совместную работу с помощью уравнения с неизвестным в знаменателе.

В предыдущих пунктах учебника уделено достаточно внимания подготовке учащихся к решению задач данного типа.

В учебнике приведены способы решения задач на совместную работу с помощью дробей - это должен быть основной способ решения задач такого типа.

Однако для развития мышления учащихся полезно рассматривать и другие способы. Поэтому для задачи про кадь пития в учебнике приведён ещё и старинный способ решения - без дробей. В сильном классе можно показать третий способ решения той же задачи.

Старинная задача. Муж выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, за сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь.

Решение. «Работая» с мужем, жена выпивает за 10 дней столько пития, сколько муж выпивает за 14 – 10 = 4 дня, значит, жена в день выпивает в 10: 4 раза меньше, чем муж, поэтому на всю кадь она затратит времени в раза = больше, чем муж, т. е. 14 = 35 дней.

– – –

Промежуточный контроль. ДМ. С–21.

4.15. Сложение смешанных дробей В данном пункте учебника рассматривается операция сложения смешанных дробей, сводящаяся к отдельному сложению целых и дробных частей. При этом подразумевается, что результат сложения должен быть записан в виде смешанной дроби или целого числа.

Отметим, что любое натуральное число и любую правильную дробь обычно не называют смешанными дробями. Однако при сложении (а в дальнейшем и при вычитании) удобно считать, что у каждого натурального числа целая часть есть само это число, а дробная часть есть нуль, а у каждой правильной дроби целая часть есть нуль, а дробная часть есть сама эта дробь. Тогда складывать натуральные числа и правильные дроби со смешанными дробями можно по правилу сложения смешанных дробей: 1 + 1 1 = 2 1 ; 21 + 1 =2.

– – –

При сложении дробных частей двух смешанных дробей может получиться неправильная дробь.

15 + 28 = 3 + = 3 + 14 = 44.

– – –

4.16. Вычитание смешанных дробей В данном пункте учебника рассматривается операция вычитания смешанных дробей, сводящаяся к отдельному вычитанию целых и дробных частей. Сначала можно рассмотреть лишь случаи вычитания из смешанной дроби целого числа, затем дроби, потом смешанной дроби (с общим знаменателем).

Только когда учащиеся освоят эти действия, задания можно усложнить, рассматривая дроби с разными знаменателями.

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то вычисления усложняются.

В этом случае в учебнике принята запись, как в следующем примере:

– – –

4 4 – 2 8 = 3 13 – 2 8 = 1 5.

Возможна и другая запись вычитания:

44 – 28 = 24 – 8 8 =15.

– – –

Промежуточный контроль. ДМ. С–22.

4.17. Умножение и деление смешанных дробей В данном пункте учебника вводятся операции умножения и деления смешанных дробей, выполняемые с помощью записи каждой смешанной дроби в виде неправильной дроби (основной прием вычисления). Вместе с тем в учебнике рассмотрены примеры упрощения вычислений с помощью распределительного закона в особых случаях. Для всех таких случаев в учебнике проведены подробная и краткая записи вычислений.

Добавим ещё один пример применения распределительного закона.

Найдём значение числового выражения: 13 7 9 11 – 12 7 9 11.

Если выполнять вычисления, применяя основной приём, то эта работа потребует много сил и времени. Если же заметить, что общий множитель 9 11 можно вынести за скобки, а разность в скобках окажется равной единице, то вычисления можно выполнить устно.

– – –

3) : = = 4) 2 – 1 =1+ –1 = ;

17 12 = 17 12 ;

48 = 5) = 6) = = = = 5;

9) : = = = = = 8;

10) 1 7 + 8 = 9 7.

– – –

рациональных точек, среднего арифметического нескольких чисел, определяется расстояние между точками, координата середины отрезка, показано, что между любыми двумя рациональными точками находится ещё хотя бы одна точка.

Заметим, что для изображения на координатном луче неправильной дроби лучше выделить её целую часть.

Решения и комментарии

1036. а) Найдите координаты точек, делящих отрезок АВ на три равные части: А (5), В (9 1).

Решение. Пусть точки М (a) и N (b) делят отрезок АВ на три равные части, а точка O (0) - начало отсчёта (рис. 48).

– – –

1041. Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды 21 год.

Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся игроков оказался равным года. Сколько лет игроку, получившему травму?

Решение. Сумма возрастов всех игроков команды равна 21 11 = 231 год.

Сумма возрастов оставшихся на поле игроков равна 20 4 10 = 208 лет. Значит, возраст игрока, получившего травму, равен 231– 208 = 23 года.

1042. Дети спросили своего учителя математики:

Сколько лет учителю математики?

Решение. Сумма возрастов всех учащихся класса равна 32 10 1 = 336 лет.

Сумма возрастов всех учащихся и их учителя математики равна 11 33 = = 363 года. Значит, возраст учителя математики равен 363 – 336 = 27 лет.

4.19. Площадь прямоугольника. Объём прямоугольного параллелепипеда В данном пункте учебника на конкретных примерах показывается, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле a b, где a и b - длина и ширина прямоугольника, выраженные рациональными числами, а объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле a b c, где a, b и c - измерения прямоугольного параллелепипеда, выраженные рациональными числами.

Решения и комментарии

1048. Сколько банок краски потребуется для покраски железной крыши дома, если содержимого одной банки хватает на покраску 10 м2 поверхности?

(Размеры крыши указаны на рисунке 50.) Решение. 1) 2 3 7 = 42 (м2) - площадь поверхности крыши;

– – –

Следовательно, потребуется 5 банок краски.

Ответ. 5 банок.

1049. Необходимо покрыть кафельной плиткой пол, имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется, если в каждом ящике 50 плиток?

Решение. 4 м 50 см = 450 см, 2 м 40 см = 240 см.

1) 450: 15 = 30 (плиток) - укладывется в один ряд в длину;

2) 240: 15 = 16 (рядов) - укладывется в ширину;

3) 30 16 = 480 (плиток) - потребуется всего.

4) 480: 50 = 9 3 (ящиков) - плитки потребуется.

– – –

Ответ. а) За 3 ч; б) за 6 ч.

Разумеется, в этом решении применяются, по сути дела, действия с алгебраическими дробями, которые изучаются в курсе 7 класса. Но учащиеся понимают суть выполняемых действий, так как для них это ещё не алгебраические дроби, а обыкновенные дроби, в которых числителем служит известное, но не названное число (расстояние между пунктами А и В, выраженное в указанных единицах). Поэтому такое «забегание» вперёд можно считать оправданным, оно готовит учащихся к изучению алгебры.

РТ. При изучении данного пункта можно использовать задания 344–348.

Решения и комментарии

1062. Расстояние между пристанями А и В на реке плот проплывает за 15 мин, а катер проплывает расстояние АВ против течения реки за 30 мин. За сколько минут катер проплывёт расстояние АВ: а) по озеру; б) по течению реки?

Решение. 1) 1: 15 = (расстояния) - проплывает плот за 1 мин по

– – –

течению реки.

Ответ. а) За 10 мин; б) за 6 мин.

1066. а) Теплоход от Киева до Херсона идёт трое суток, а от Херсона до Киева четверо суток (без остановок). Сколько времени будут плыть плоты от Киева до Херсона?

Решение. I способ.

– – –

Ответ. 24 дня.

Замечание. Использование «вспомогательного неизвестного x» упрощает пояснения к выполняемым действиям в решении задач рассматриваемого типа и готовит учащихся к изучению алгебры.

Промежуточный контроль. ДМ. С–24.

2. Исторические сведения В данном пункте приведена информация о древнем вавилонском способе записи дробей без знаменателя, о индийском способе записи дробей и смешанных чисел, об использовании сложения дробей в нотной записи. Задачи 1068-1070 в разделе «Занимательные задачи» также связаны со старинными способами записи и чтения дробей.

3. Занимательные задачи С помощью задач из данного пункта можно продолжить работу по развитию у учащихся интереса к решению задач.

Решения и комментарии

1070. Ананий из Ширака (Армения, VII в.). В городе Афины был водоём, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоём за один час, другая, более тонкая, - за два часа, третья, ещё более тонкая, - за три часа.

Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоём.

Примечание. Ананий дал такой ответ: Используйте его для.

– – –

немцев знала английский язык. Кого в делегации больше: немцев или англичан?

Можно ли ответить на вопрос задачи?

Решение. а) Как видно из рисунка 51, одна и та же группа учащихся класса составляет от всех поющих и от всех танцующих, следовательно, поющих в классе было больше.

– – –

Поэтому ответить на вопрос нельзя. Ответы будут разными при разных количествах англичан и немцев. Так, условию задачи удовлетворяют и 1) 8 англичан и 7 немцев, и 2) 8 англичан и 14 немцев, и 3) 16 англичан и 7 немцев.

1085. Задача Метродора. Корона весит 60 мин (греческая мера веса и денег) и состоит из сплава золота, меди, олова и железа. Золото и медь составляют, золото и олово -, золото и железо - общего веса.

– – –

учащихся может быть в классе?

Решение. а) 35 не делится на 3. Поэтому Вася ошибся.

б) Число учащихся делится на 15 - это 15 или 30 учащихся (можно считать, что классов по 45 учащихся не бывает).

г) Число учащихся делится на 5 и на 7. Наименьшее такое число 35 (классов по 70 учащихся уж точно не бывает).

1087. а) В классе послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков. Кого в классе больше: послушных детей или мальчиков?

Решение. В классе имеются послушные девочки (ПД) и непослушные девочки (НД), послушные мальчики (ПМ) и непослушные мальчики (НМ).

Требуется сравнить число послушных детей и число мальчиков:

ПМ + ПД и ПМ + НМ.

По условию задачи послушных девочек (ПД) столько же, сколько непослушных мальчиков (НМ), поэтому в классе послушных детей (ПМ + ПД) столько же, сколько мальчиков (ПМ + НМ).

Повторение В этом разделе имеются задачи для повторения изученного в начальной школе и в 5 классе. Учитель может использовать приведённые задания для организации повторения в случае обнаружения пробелов по какой-либо теме, а также для текущего и итогового повторения.

Решения и комментарии

1139. Задачи С. А. Рачинского. а) Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5. Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов?

б) В школе равное число девочек и мальчиков. Я принёс 234 ореха, и каждому мальчику досталось по 5 орехов, каждой девочке - по 4 ореха. Но девочки обиделись, и в другой раз я принёс столько орехов, что всем досталось по

6. Сколько орехов я принёс?

Решение. а) I способ. Чтобы каждому ученику досталось по 4 ореха и 15 орехов осталось, можно забрать по 1 ореху у 15 учащихся, у которых по 5 орехов, ещё 1 орех взять у 16-го ученика, у которого также было 5 орехов, и отдать 17-му, у которого было 3 ореха. Следовательно, у 16 учащихся было по 5 орехов и у одного - 3. Всего орехов было 1 3 + 16 5 = 83.

II способ. Представим, что сначала раздали всем учащимся по 4 ореха и 15 орехов осталось. Раздадим по 1 ореху 15 учащимся, ещё 1 орех возьмём у 16-го ученика и отдадим 17-му. У 16 учащихся станет по 5 орехов и у одного - 3.

Орехов было 1 3 + 16 5 = 83.

б) 1) 234: (5 + 4) = 26 (пар) - мальчиков и девочек;

2) 26 (2 6) = 312 (орехов) - я принёс во второй раз.

Ответ. а) 83 ореха; б) 312 орехов.

1140. Из «Азбуки» Л. Н. Толстого. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 р. меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собою, и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома?

Решение. 1) 3 800 = 2400 (р.) - дали старшие братья;

2) 2400: 2 = 1200 (р.) - получил каждый младший брат.

Здесь учащиеся часто ошибаются, считая, что они нашли стоимость каждого дома. Это стоимость дома без 800 р.

3) 800 + 1200 = 2000 (р.) - стоил каждый дом.

Если возникнут сомнения в правильности решения, можно сделать проверку:

2000 3: 5 = 1200 (р.) - доля наследства каждого.

Младшие братья её получили, старшие тоже: 2000 – 800 = 1200 (р.).

Ответ. По 2000 р.

1143. а) Мама раздала детям по четыре конфеты, и три конфеты остались лишними. Чтобы дать детям по пять конфет, двух конфет не хватит. Сколько детей?

Решение. Представьте, что мама раздала детям по 4 конфеты. Сколько конфет у неё осталось? (3.) Скольким детям хватит ещё по одной (пятой) конфете? (Троим.) Скольким детям не хватит ещё по одной конфете? (Двоим.) Сколько всего детей? (3 + 2 = 5.) Ответ. 5 детей.

1145. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динаров больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздаёт лишь по два, и у него ещё остаётся три. Сколько бедных?

Решение. Пусть сначала некто раздавал по 2 динара, и у него осталось 3 динара. Если бы у него было ещё 8 динаров, то он смог бы дать ещё по 1 динару 11 бедным (3 + 8 = 11). Итак, было 11 бедных.

Ответ. 11 бедных.

1146. а) Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких - по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько больших пирамид?

Решение. Если бы все 20 пирамид имели по 5 колец, то всех колец было бы 20 5 = 100, а по условию их 128. Лишние 128 – 100 = 28 колец - это кольца (сверх пяти) от больших пирамид, которых было 28: 2 = 14.

Ответ. 14 больших пирамид.

1148. Древнекитайская задача. В клетке сидят фазаны и кролики. У них вместе 35 голов и 94 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?

Решение. Задачу можно решить аналогично задаче 1146. Если бы в клетке сидели одни фазаны, то ног было бы 2 35 = 70, но их на 94 – 70 = 24 больше.

Разница образовалась за счёт того, что у каждого кролика на 2 лапы больше, чем у фазана. Кроликов 24: 2 = 12, а фазанов 35 – 12 = 23.

Не менее интересно рассуждение, найденное нами у старых мастеров методики математики и вызывающее у детей живейшее участие в решении задачи. Опишем примерный диалог учителя с классом (в скобках показаны действия, с помощью которых получен результат).

Представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапы, чтобы дотянуться до морковки. Сколько лап в этот момент будет стоять на земле?

70 лап (35 2 = 70).

Но в условии задачи даны 94 лапы, где же остальные?

Остальные не посчитаны - это передние лапы кроликов.

Сколько их?

24 (94 – 70 = 24).

Сколько же кроликов?

12 (24: 2 = 12).

А фазанов?

23 (35 – 12 = 23).

После завершения диалога можно предложить учащимся записать решение задачи в тетрадях «с пояснениями». Разумеется, здесь трудно кратко и точно пояснить первое действие.

Ответ. 23 фазана и 12 кроликов.

1150. Старинная задача. а) Крестьянин хочет купить лошадь и для этого продает рожь. Если он продаст 15 ц ржи, то ему не хватит для покупки лошади 80 рублей, а если он продаст 20 ц ржи, то после покупки у него останется 110 рублей.

Сколько стоит лошадь?

Решение. Продав 20 – 15 = 5 (ц) ржи, крестьянин заплатит недостающие 80 р. и у него останется 110 р., т. е. 1 ц ржи стоит (80 + 110) : 5 = 38 (р.). Тогда лошадь стоит 15 38 + 80 = 650 (р.).

Ответ. 650 р.

1151. а) Старинная задача. За 1000 р. я купил 44 коровы - по 18 р. и по 26 р. Сколько тех и других?

Решение. Если бы купили 44 коровы по 18 р., то заплатили бы 792 р., на самом деле заплатили на 1000 – 792 = 208 (р.) больше, так как за каждую более дорогую корову платили на 26 – 18 = 8 (р.) больше. Дорогих коров было 208: 8 = 26, дешёвых - 44 – 26 = 18.

Ответ. 18 коров по 18 р. и 26 коров по 26 р.

1153. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто купил 112 баранов, старых и молодых, дал 49 рублей и 20 алтын. За старого он платил по 15 алтын и по 2 деньги, а за молодого - по 10 алтын; узнайте, сколько старых и сколько молодых баранов купил он.

Решение. После перевода всех сумм в копейки решение задачи можно объяснить так. Пусть сначала за всех баранов заплатили как за молодых - по 30 к. Это составило 112 30 = 3360 (к.). По условию задачи заплатили больше на 4960 – 3360 = 1600 (к.). Эта разность образовалась за счёт того, что за каждого старого барана платили на 46 – 30 = 16 (к.) больше, чем за молодого. Тогда старых баранов было 1600: 16 = 100, а молодых - 112 – 100 = 12.

В тетрадях учащихся это решение можно записать так:

1) 112 30 = 3360 (к.) - стоят 112 молодых баранов;

2) 4960 – 3360 = 1600 (к.) - надо доплатить за старых баранов;

3) 46 – 30 = 16 (к.) - на столько старый баран дороже молодого;

4) 1600: 16 = 100 (бар.) - купили старых баранов;

5) 112 – 100 = 12 (бар.) - купили молодых баранов.

Ответ. 100 старых и 12 молодых баранов.

1154. Старинная задача. Купец купил 110 фунтов табака. 50 фунтов оказались подмоченными, и купец продал их на 2 р. дешевле за 1 фунт, чем заплатил сам. Остальной табак он продал на 3 р. дороже за 1 фунт, чем уплатил сам. Подсчитайте прибыль купца.

Решение. На 50 фунтах подмоченного табака купец имел убытка 2 50 = = 100 (р.), на оставшихся 110 – 50 = 60 (фунтах) он имел 3 60 = 180 (р.) прибыли.

Итого вся прибыль составила 180 – 100 = 80 (р.).

Ответ. 80 р.

1156. а) За краски и две кисти заплатили 32 р. 19 к., за краски и кисть - 21 р.

72 к. Сколько стоят краски? Сколько стоит кисть?

б) За две тетради и ручку заплатили 6 р. 66 к., а за тетрадь и две ручки заплатили 9 р. 93 к. Сколько стоит тетрадь? Сколько стоит ручка?

Решение. а) В первом случае за лишнюю кисть заплатили 3219 – 2172 = = 1047 (к.). Краски стоят 2172 – 1047 = 1125 (к.). 1047 к. = 10 р. 47 к., 1125 к. = 11 р. 25 к.

б) За два раза купили 3 тетради и 3 ручки за 666 + 993 = 1659 (к.), тогда тетрадь и ручка стоят 1659: 3 = 553 (к.), тетрадь стоит 666 – 553 = 113 (к.), а ручка стоит 553 – 113 = 440 (к.). 113 к. = 1 р. 13 к., 440 к. = 4 р. 40 к.

Ответ. а) 11 р. 25 к., 10 р. 47 к.; б) 1 р. 13 к., 4 р. 40 к.

1160. Алёша и Боря вместе весят 82 кг, Алёша и Вова весят 83 кг, Боря и Вова весят 85 кг. Сколько весят вместе Алёша, Боря и Вова?

Решение. I способ. Сравнение двух первых условий показывает, что Боря легче Вовы на 1 кг, а вместе они весят 85 кг, т. е. Боря весит (85 – 1) : 2 = 42 (кг), а втроём они весят 42 + 83 = 125 (кг).

II способ. Если записать краткое условие задачи так:

А + Б = 82 А + В = 83 В + Б = 85 и сложить левые и правые части равенств, то получим 2(А + Б + В) = 250, откуда получим, что А + Б + В = 125, т. е. втроём они весят 125 кг. Здесь А, Б, В - вес Алёши, Бори и Вовы соответственно.

1161. а) Старинная задача. Четверо купцов имеют некоторую сумму денег.

Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 р.; сложившись без второго,- 85 р.; сложившись без третьего,- 80 р.; сложившись без четвёртого,- 75 р. Сколько у кого денег?

Решение. I способ. Из двух первых условий следует, что у второго купца было на 5 р. больше, чем у первого. Из второго и третьего условий следует, что у третьего купца было на 5 р., больше, чем у второго. Если бы третий купец дал первому 5 р., то у первых трёх купцов денег стало бы поровну - по 75: 3 = 25 (р.). Значит, у первого купца было 25 – 5 = 20 (р.), у второго -25 р., у третьего - 25 + 5 = 30 (р.), а у четвёртого - 90 – 25 – 30 = 35 (р.).

«Флора Даурии. Том V Gastrolychnis (Fenzl) Reichb. – Гастролихнис 1. Нижние стеблевые листья продолговато-ланцетные, до 1,5–2 см шир. + Нижние стеблевые листья ланцетно-линейные, 0,3–1(1,5) см шир. 2. Лепестки венчиков темно-фиолетовые или черно-пурпуровые + Лепестки венчиков белые. G. saxatilis (Turcz.) Peschkova 3. Лепестки светло-пурпуровые или розовые, очень редко белые, но тогда лишь немного длиннее чашечки. Растения многолетние. Чашечки при плодах слегка вздутые, с малозаметными жилками....»

«6 ПРАВИТЕЛЬСТВО СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ ДЕПАРТАМЕНТ ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ ПРИКАЗ от 1lr.01?a~ 2· г. Екатеринбург О внесении изменений в лесохозяйственный регламент Тавдинского лесничества Свердловекой области, утвержденный приказом Министерства природныхресурсов Свердловекой области от 31.12.2008 М 1755 В соответствии с подпунктом пункта статьи пунктом статьи 1 1 83, 2 87 Лесного кодекса Российской Федерации, пунктом приказа Федерального 04.04.2012.N2 агентства лесного хозяйства...»

« понятия, предложенные в этом тексте касаются игры на длинном столе (8-10 игроков). В техаский безлимитный покер раньше больше играли в турнирном варианте, но в последнее время вслед за подъемом в турнирном виде, бурно развивается и вариант кеш-игры. Другая причина возросшей популярности в том, что по сравнению с публичными казино онлайновые...»

««УТВЕРЖДАЮ» директор Федерального государственного жетного учреждения науки леса Карельского научного й академии наук А.М. Крышень ОТЗЫВ ведущей организации Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института леса Карельского научного центра Российской академии наук на диссертацию Надежды Александровны Мясниковой «Трансформация элементов водного баланса под влиянием хозяйственной деятельности в различных климатических условиях», представленную на соискание ученой степени...»

«Репертуар 9 волны «АРТкино» на октябрь 2011 года Занятия проходят по адресу: м. Сокольники, ул. Сокольническая пл. 7 в здании Дома молодёжи «Сокольники», аудитория №12 КУРС МОЛОДОГО КИНОБОЙЦА Дата Время Расписание 01 октября Лекционное занятие 2011г. 14:30 Курс «Киноалфавит»: КОМПОЗИЦИЯ КАДРА (занятие проводит Дмитрий Куповых*) Перерыв на обед с 16:30 до 17:00 Практические упражнения Курс «Операторское мастерство» (съёмка киноэтюдов на элементы киноязыка): Тема: Композиция кадра Задание:...»

«Предисловие Будем хранить и помнить В реке памяти и времени воспоминания Ольги Владимировны Ольденборгер - лишь малая капелька, но капелька яркая и необычная. Любой человек, прожив долгую жизнь, любит делиться своими воспоминаниями и часто рассказывает много интересного о своей жизни детям и внукам, родным и близким, друзьям и просто знакомым. Но не все решаются записать свои рассказы. Ольга Владимировна оставила после себя удивительные по искренности воспоминания. Ее «Странички прошлого»...»

«Урок №7 Ураганы, бури, смерчи Основные понятия Ураган – это атмосферный вихрь большого размера со скоростью ветра до 120 км/ч, а в приземном слое до 200 км/ч. Ураган (тропический циклон) - тип циклона, или погодной системы низкого давления, возникающий над теплой морской поверхностью и сопровождаемый мощными грозами, выпадением ливневых осадков и ветрами штормовой силы. Тропические циклоны получают энергию от поднятия влажного воздуха вверх, конденсации водяных паров в виде дождей и опускания...»

«ПИСАТЕЛИ О ПИСАТЕЛЯХ A. M. ТУРКОВ ВАШ СУРОВЫЙ ДРУГ ИЗДАТЕЛЬСТВО «КНИГА» ПИСАТЕЛИ О ПИСАТЕЛЯХ A. M. ТУРКОВ ВАШ СУРОВЫЙ ДРУГ Повесть о M. Е. Салтыкове-Щедрине МОСКВА «КНИГА» 1988 ББК 84Р7-4 Т 88 Предисловие Л. Лиходеева Разработка серийного оформления Б. В. Трофимова, А. Т. Троянкера, Н. А. Ящука Иллюстрации художника С. А. Коваленкова Общественная редколлегия серии: Д. А. Гранин, А. М. Зверев, Ю. В. Манн, Э. В. Переслегина, Г. Е. Померанцева, А. М. Турков Вступительная статья, оформление ISBN...»

«Political sociology 33 Publishing House ANALITIKA RODIS ([email protected]) http://publishing-vak.ru/ УДК 355.018 Социальное обеспечение населения Республики Алтай в годы Великой отечественной войны Хабарова Елена Викторовна Старший преподаватель, Горно-Алтайский государственный университет, 649000, Российская Федерация, Республика Алтай, Горно-Алтайск, ул. Ленкина, д. 1; е-mail: [email protected] Аннотация В статье представлены, проанализированы архивные документы, материалы...»

«СЕТЬ САЛОНОВ SILVER & SILVER Компания Silver & Silver основана в 2005 году и на сегодняшний день является одной из основных розничных сетей в России по продаже серебряных украшений. Компания является частью Группы компаний Ярра, более 10 лет занимающей первые позиции на оптовом ювелирном рынке и поставляющее свою продукцию в сотни магазинов по всей стране. Наличие богатого опыта работы, прямых поставок от зарубежных производителей, высокой компетенции персонала позволяют Silver & Silver не...»

«HUMAN RIGHTS IN MONTENEGRO 2010–2011 The publication of this Report was supported by the Foundation Open Society Institute. The translation of this Report into English language was supported by the British Embassy. The views expressed in this Report are those of the Human Rights Action.HUMAN RIGHTS IN MONTENEGRO 2010–2011 Tea Gorjanc Prelevi (editor) PODGORICA 2011 HUMAN RIGHTS IN MONTENEGRO Publisher The Human Rights Action Moskovska bb, 81 000 Podgorica, Montenegro Tel: +382 20 510 040,...»

«Зарегистрировано 11 сентября 201 2 г. государственный регистрационный номер 1–03– 33498–E–003D ФСФР России (указывается наименование регистрирующего органа) (подпись уполномоченного лица) (печать регистрирующего органа) РЕШЕНИЕ О ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ ВЫПУСКЕ ЦЕННЫХ БУМАГ Открытое акционерное общество ИНТЕР РАО ЕЭС акции обыкновенные именные бездокументарные номинальной стоимостью 0,02809767 рубля каждая в количестве 1 570 842 367 880 штук, размещаемые путем конвертации обыкновенных именных...»

« одним названием – средства массовой информации, люди узнают о нормах поведения, которое расценивается в данном обществе как соответствующее той или иной социальной группе. Таким образом, СМИ так или иначе формируют мировоззрение людей и их ценности. Наиболее ощутимое и целедостижимое воздействие СМИ оказывают на молодых людей как наиболее...»

«РЕГИОНАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО ТАРИФАМ КИРОВСКОЙ ОБЛАСТИ ПРОТОКОЛ заседания правления региональной службы по тарифам Кировской области № 22 26.06.2015 г. Киров Беляева Н.В.Председательствующий: Троян Г.В. Члены правлеМальков Н.В. ния: Вычегжанин А.В. Петухова Г.И. Юдинцева Н.Г. Кривошеина Т.Н. Никонова М.Л. по вопросам электроэнерОтсутствовали: гетики Владимиров Д.Ю. по вопросам электроэнергетики Трегубова Т.А. Секретарь: Зыков М.И., Черных А.О. Уполномоченные по делам: нет Приглашнные: Беляева Н.В.:...»

104. Чему равно частное?

Попросите своего товарища написать любое трехзначное число, но только такое, чтобы крайние цифры гличались друг от друга на число, которое вы укаете. Пусть затем он поменяет местами в этом числе крайние цифры. Получится еще одно число. Предложите вашему товарищу вычесть меньшее число из большего. Разность всегда делится на 9, и вы можете всегда сказать наперед, какое будет частное от деления этой разности на 9. Чему же равняется частное?

Решение. Частное равняется указанной вами разности между крайними цифрами числа, умноженной на 11. Например, если взять сначала число 845, то 845 - 548 = 279, 279: 9 = 33 = (8-5)*11.

Чтобы доказать это правило, заметим, что каждое трехзначное число можно представить в виде 100а + 10b + с, где 0

Эту задачу можно предлагать в следующем более занимательном (особенно для детей) варианте.

Число 1089. Напишите на бумажке число 1089, вложите бумажку в конверт и запечатайте его. Затем предложите кому-нибудь, дав ему этот конверт, написать на нем трехзначное число, но такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались бы друг от друга более чем на единицу. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он опять переставит крайние цифры и получившееся трехзначное число прибавит к разности первых двух. Когда он получит сумму, предложите ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое, к его удивлению, и есть полученное им число. Почему так произошло?

Решение. Из решения предыдущей задачи мы знаем, что разность между любым трехзначным числом и числом, полученным из него перестановкой крайних цифр, всегда делится на 99. Так как крайние цифры отличаются более чем на единицу, то эта разность обязательно будет трехзначным числом, обозначим ее 100k + 10l + m (0

Фокус “Феноменальная память”.

Для проведения этого фокуса необходимо заготовить много карточек, на каждой из которых поставить ее номер (двузначное число) и записать семизначное число по особому алгоритму. “Фокусник” раздает карточки участникам и объявляет, что он запомнил числа, записанные на каждой карточке. Любой участник называет номер каточки, а фокусник, немного подумав, говорит, какое на этой карточке записано число. Разгадка данного фокуса проста: чтобы назвать число “фокусник” проделывает следующие действия - прибавляет к номеру карточки число 5, переворачивает цифры полученного двузначного числа, затем каждая следующая цифра получается сложением двух последних, если получается двузначное число, то берется цифра единиц. Например: номер карточки - 46. Прибавим 5, получим 51, переставим цифры - получим 15, будем складывать цифры, следующая - 6, затем 5+6=11, т. е. возьмем 1, потом 6+1=7, дальше цифры 8, 5. Число на карточке: 1561785.

Фокус “Угадать задуманное число”.

Фокусник предлагает кому-нибудь из учащихся написать на листе бумаги любое трехзначное число. Далее приписать к нему это же число еще раз. Получится шестизначное число. Передать лист соседу, пусть он разделит это число на 7. Передать листочек дальше, пусть следующий ученик разделит полученное число на 11. Снова передать результат дальше, следующий ученик пусть разделит полученное число на 13. Затем передать листочек “фокуснику”. Он может назвать задуманное число. Разгадка фокуса:

Когда мы к трехзначному числу приписали такое же число, то мы тем самым умножили его на 1001, а затем, разделив последовательно на 7, 11, 13, мы разделили его на 1001, то есть получили задуманное трехзначное число.

Фокус “Угадать зачеркнутую цифру”.

Пусть кто-либо задумает какое-нибудь многозначное число, например, число 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8+4+7=19) и отнять ее от задуманного числа. Получится: 847-19=828. в том числе, которое получится, пусть он зачеркнет цифру - безразлично какую, и сообщит вам все остальные. Вы немедленно назовете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.

Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра (8) и вам сообщили цифры 2 и 8, то, сложив 2+8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18 - не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.

Почему так получается?

Потому что если от какого-либо числа отнять сумму его цифр, то останется число, делящееся на 9 без остатка, иначе говоря такое, сумма цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в задуманном числе а - цифра сотен, в - цифра десятков, с - цифра единиц. Значит всего в этом числе единиц 100а+10в+с. Отнимая от этого числа сумму цифр (а+в+с), получим: 100а+10в+с-(а+в+с)=99а+9в=9(11а+в), т. е. число, делящееся на 9. При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9, например 4 и 5.Это показывает, что зачеркнутая цифра либо 0, либо 9.Тогда вы должны ответить: 0 или 9.

Фокус “Любимая цифра”.

Любой из присутствующих задумывает свою любимую цифру. Фокусник предлагает ему выполнить умножение числа 15873 на любимую цифру, умноженную на 7. Например, если любимая цифра 5, то пусть умножит на 35. Получится произведение, записанное только любимой цифрой. Возможен и второй вариант: умножить число 12345679 на любимую цифру, умноженную на 9, в нашем случае это число 45. Объяснение этого фокуса достаточно простое: если умножить 15873 на 7, то получится 111111, а если умножить 12345679 на 9, то получится 111111111.

Фокус “Угадать задуманное число, ничего не спрашивая”.

Фокусник предлагает учащимся следующие действия:

Первый ученик задумывает какое-нибудь двузначное число, второй - приписывает к нему справа и слева такое же число, третий - делит полученное шестизначное число на 7, четвертый - на 3, пятый - на 13, шестой - на 37 и передает свой ответ задумавшему, который видит, что к нему вернулось его число. Секрет фокуса: если к любому двузначному числу приписать справа и слева такое же число, то двузначное число при этом увеличится в 10101 раз. Число 10101 равно произведению чисел 3, 7, 13 и 37, поэтому после деления мы и получаем задуманное число.

Конкурс болельщиков - “Веселый счет”. От каждой команды приглашается представитель. На доске две таблицы, на которых в беспорядке отмечены числа от 1 до 25. По сигналу ведущего учащиеся должны найти на таблице все числа по порядку, кто это сделает быстрее, тот и выиграл.

Фокус “Число в конверте”

Фокусник пишет на бумажке число 1089, вкладывает бумажку в конверт и заклеивает его. Предлагает кому-нибудь, дав ему этот конверт, написать на нем трехзначное число такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались бы друг от друга больше, чем на 1. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он снова переставит крайние цифры и получившееся трехзначное число прибавит к разности двух первых. Когда он получит сумму, фокусник предлагает ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое у него и получилось.

Фокус “Угадывание дня, месяца и года рождения”

Фокусник предлагает учащимся выполнить следующие действия: “Умножьте номер месяца, в котором вы родились, на 100, затем прибавьте день рождения, результат умножьте на 2, к полученному числу прибавьте 2, результат умножьте на 5, к полученному числу прибавьте 1, к результату припишите 0, к полученному числу прибавьте еще 1 и, наконец, прибавьте число ваших лет. После этого сообщите, какое число у вас получилось”. Теперь “фокуснику” осталось от названного числа отнять 111, а потом остаток разбить на три грани справа налево по две цифры. Средние две цифры обозначают день рождения, первые две или одна - номер месяца, а последние две цифры - число лет, зная число лет, фокусник определяет год рождения.

Фокус “Угадать задуманный день недели”.

Пронумеруем все дни недели: понедельник - первый, вторник - второй и т. д. Пусть кто-нибудь задумает любой день недели. Фокусник предлагает ему следующие действия: умножить номер задуманного дня на 2, к произведению прибавить 5, полученную сумму умножить на 5, к полученному числу приписать в конце 0, результат сообщить фокуснику. Из этого числа он вычитает 250 и число сотен будет номером задуманного дня. Разгадка фокуса: допустим, задуман четверг, то есть 4 день. Выполним действия: ((4×2+5)*5)*10=650, 650 - 250=400.

Фокус “Угадать возраст”.

Фокусник предлагает кому-нибудь из учащихся умножить число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножить на 9, из первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность. В этом числе “фокусник” должен цифру единиц сложить с цифрой десятков - получится число лет.

В труде, в учении, в игре, во всякой творческой деятельности нужны человеку сообразительность, находчивость, догадка, умение рассуждать.
Для вне программных занятий, бесед и развлечений в свободный вечер, в семейном кругу и с друзьями, или в школе на внеклассных встречах математические фокусы.

Фокусы

1. Угадайте, сколько получится

Предложите своим товарищам:
«Задумайте каждый какое-либо трехзначное число, но обязательно такое, чтобы цифра сотен отличалась от цифры единиц и не была бы на единицу меньше или больше ее.
Напишите для задуманного числа обращенное, т.е. число, изображенное теми же цифрами, но взятыми в обратном порядке.
Из этих двух чисел (задуманного и обращенного) возьмите большее и вычтите из него меньшее.
Для получившейся разности напишите снова обращенное число и вычислите сумму этой разности и обращенного для нее числа».
Когда все это будет сделано, предложите одному из своих товарищей к получившемуся у него числу прибавить 100, другому — 200, третьему — 300 и т. д.
Вы можете каждому из участвующих в игре сказать, какое именно число у него получилось.
Для этого вам каждый раз нужно будет прибавлять к числу 1089 то число, которое вы просили прибавить в конце.
Так, у первого должно получиться 1189, у второго 1289 и т.д. Еще лучше будет, если вы эти числа заранее напишете на листочках бумаги, вложите эти листочки в конверты и на них напишете имена своих товарищей, участвующих в этой игре. Вам останется торжественно вручить эти конверты их адресатам. Постарайтесь понять, в чем тут дело, и потом объясните своим товарищам.

2. Делимость на 11

Предложите товарищу написать на классной доске или бумаге любое многозначное число.
К этому числу вы можете быстро приписать справа или слева одну цифру так, чтобы получившееся число разделилось на 11.
Если, например, ваш товарищ напишет число 43 572, то вам нужно будет приписать справа или слева к этому числу 1. Получившееся число разделится на 11. Знаете ли вы, какую цифру нужно приписать к числу, чтобы получившееся после этого число делилось на 11?
Чтобы разобраться в этом вопросе, воспользуйтесь признаком делимости на 11:
на 11 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечетных местах, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо больше или меньше ее на число, делящееся на 11.
Прежде чем выступать с этим числовым фокусом, поупражняйтесь, а потом объясните его вашим товарищам.

3. Угадайте задуманное число

В своей книге «Арифметика» Леонтий Филиппович Магницкий привел следующий способ отгадывания задуманного двузначного числа:
«Если кто задумает двузначное число, то ты скажи ему, чтобы он увеличил число десятков задуманного числа в 2 раза, к произведению прибавил бы 5 единиц, полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил сумму 10 единиц и числа единиц задуманного числа, а результат произведенных действий сообщил бы тебе.
Если ты из указанного тебе результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число» .

4. Угадайте сумму цифр задуманного числа

Предложите своим товарищам каждому задумать какое-нибудь трехзначное число, запись которого не содержит одинаковых цифр.
Пусть затем, беря цифры задуманного числа по две, каждый составит всевозможные двузначные числа (таких чисел будет 6) и вычислит сумму всех этих чисел.
Спросите у любого участника этого развлечения какая сумма получилась.
Разделите ее на 22, и вы найдете сумму цифр задуманного твоим товарищем числа.
Пусть, например, твой товарищ задумал число 145. Сумма всех двузначных чисел для этого числа будет равна 14+15+45+41+51+54 = 220. Если вы разделите эту сумму на 22, то действительно получите 10 — сумму цифр задуманного числа.

5. Угадайте зачеркнутую цифру

Известный арифметический фокус.
Состоит он в следующем:
Предлагается написать любое трехзначное или четырехзначное число, состоящее из различных цифр.
Какое именно число будет написано, отгадывающий не должен знать. Написавший число имеет право как угодно переставить цифры этого числа.
Получатся два числа:
записанное вначале и получившееся из него после перестановки цифр.
Меньшее из этих чисел предлагается вычесть из большего, в полученной разности зачеркнуть одну цифру и вычислить сумму оставшихся. Эта сумма сообщается отгадывающему, и он говорит, какая цифра была вычеркнута.
Чтобы узнать, какая цифра была вычеркнута, отгадывающий поступает так:
названную ему сумму цифр он дополняет до ближайшего большего кратного 9 (9, 18, 27, 36 и т.д.). Дополняющее число и дает вычеркнутую цифру. Если сумма сама окажется кратной 9, то зачеркнутая цифра была 0 или,9.

6. Удивительная память

Запишите заранее на классной доске или на листе бумаги 30 — 50, а можно и больше, многозначных чисел. При записи чисел нумеруйте их. Эти числа записывайте так:
К номеру числа прибавьте 9, возьмите для получившегося числа обращенное. Это будет число миллионов. Дальше вычислите сумму цифр получившегося числа миллионов. Число единиц (только единиц) этой суммы даст число сотен тысяч. Чтобы найти число десятков тысяч, вычислите сумму двух последних цифр, т.е. числа миллионов и числа сотен тысяч, и возьмите опять только единицы этой суммы. Так же продолжайте дальше.
Вот несколько примеров таких чисел, какие вы запишите.
№ 5 41561785; № 11 2246066; № 16 52796516.
Подготовив все это, вы можете удивить своих товарищей замечательной памятью.
Отвернитесь от доски и скажите товарищам, что вы запомнили все эти числа. Вам не поверят. Тогда предложите им проверить. Пусть кто-нибудь скажет вам номер числа. Вы, производя устно вычисления, будете читать число, как бы медленно вспоминая его.
Делайте это так.
Пусть вам назовут номер числа 32. Молча вычисляйте: 32+9=41. Обращенное число 14, говорите: 14 миллионов, 1+4=5- пятьсот, 4+5=9 — девяносто, 5+9=14 — 4 тысячи, 9+4=13 — триста, 4+3=7 — семьдесят, 7+3=10 — единиц (14594370).

7. Возраст и дата рождения

Пообещайте своим товарищам угадать возраст и дату рождения каждого из них.
Для этого попрасите каждого из них проделать следующие вычисления:
Порядковый номер месяца рождения нужно умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить число месяца, на которое приходится день рождения. Затем полученную сумму нужно умножить на 2 и к тому, что получится, прибавить 8. Результат нужно умножить на 5, к произведению прибавить 4 и получившуюся сумму умножить на 10. К тому, что получится, остается прибавить полное число лет (возраст), увеличенное на 4.
Пусть каждый, выполнивший все эти вычисления, запишет на листочке бумаги свою фамилию, получившееся число и передаст листочек вам.
Получив эти листочки, вы по ним каждому можете сказать его возраст и дату рождения.
Придется поступать так:
из получившегося числа, записанного на листочке, каждый раз вычитайте по 444 и разность разбивайте на грани справа налево по две цифры в каждой.
Первая грань справа даст возраст,
вторая — число и
третья — порядковый номер месяца рождения.

8. Угадайте задуманное число

Приготовьте семь карточек.
На первой из них напишите все Числа, начиная от 1 до 100, через одно число, т.е. 1, 3, 5, 7, 9, ..., 99.
На второй карточке напишите числа: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, ..., 98, 99.
На третьей числа: 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 28, ..., 92, 93, 94, 95.
На четвертой- 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, 25, 26, 27, ..., 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95.
На пятой сначала напишите 16 последовательных натуральных чисел, начиная с 16, следующие 16 последовательных чисел, начиная с 32, не записывайте, затем запишите снова 16 чисел, начиная с 48, и т. д.
На шестой сначала запишите 32 последовательных натуральных числа, начиная с 32, следующие 32 числа не записывайте и наконец припишите следующие числа с 96 до 100.
На последующей карточке запишите все натуральные числа, начиная с 64 до 100.
Дайте вашему товарищу приготовленные таким образом карточки. Пусть он задумает какое-либо число от 1 до 100, выберет карточки, на которых это число записано.
Только взглянув на эти карточки, вы можете угадать задуманное число.
Для этого нужно найти сумму первых чисел, записанных на выбранных карточках.

(Числа на карточках можно располагать в произвольном порядке, только нужно запомнить, какие места занимают первые числа: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64).

О других фокусах и их секретах можешь посмотреть ЗДЕСЬ↓

Правило 3. За один ход берут один, два или три камня.

а) k = 8; б)k = 9; в)k = 10; г)k = 11;

д) k =4 п; е) k =4 п +1; ж) k =4 п +2; з) k =4 п +3.

Решение. Правило 1. При игре по этому правилу у каждого из игроков нет выбора - они каждый раз берут по одному камню. Исход игры здесь зависит не от ходов игроков, а только от того, кто из них первый делает ход.

Если камней 6, 20, 2п (п - натуральное число), то после каждого хода первого игрока остаётся нечётное число камней, поэтому завершающим ходом второй выиграет партию. В этих случаях первый игрок не сможет выиграть партию.

Если же камней 7, 19, 2п + 1 (п - натуральное число), то после каждого хода первого игрока остаётся чётное число камней, поэтому завершающим ходом он выиграет партию. В этих случаях первый игрок выиграет партию.

Правило 2. Если камней 6, 3п (п - натуральное число), то первый игрок не может выиграть при правильной игре второго. Сколько бы камней (1 или 2) не брал первый игрок, второй всегда может своим ходом оставить число камней, делящееся на 3. Поэтому перед последним ходом первого игрока второй может оставить 3 камня и закончить игру после любого хода первого игрока.

Во всех остальных случаях первый игрок первым ходом должен оставить число камней, делящееся на 3. А дальше после каждого хода второго игрока он может оставлять число камней, делящееся на 3. После того как останется 3 камня, второй возьмёт 1 или 2 камня, а первый закончит игру. В этих случаях первый игрок может выиграть при любой игре второго. В таких случаях говорят, что у первого игрока имеется выигрышная стратегия.

Правило 3. Если камней 8, 4п (п - натуральное число), то первый игрок не может выиграть при правильной игре второго. Сколько бы камней (1, 2 или 3) не

брал первый игрок, второй всегда может своим ходом оставить число камней, делящееся на 4. Поэтому перед последним ходом первого игрока второй может оставить 4 камня и закончить игру после любого хода первого игрока.

Во всех остальных случаях первый игрок первым ходом должен оставить число камней, делящееся на 4. А дальше после каждого хода второго игрока он может оставлять число камней, делящееся на 4. После того как останется 4 камня, второй возьмёт 1, 2 или 3 камня, а первый закончит игру. В этих случаях первый игрок может выиграть при любой игре второго. В таких случаях говорят, что у первого игрока имеется выигрышная стратегия.

3.5. Наибольший общий делитель

В данном пункте учебника вводятся понятия общего делителя двух натуральных чисел, наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, взаимно простых чисел. Учащиеся лучше усвоят сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, если уже сейчас научатся устанавливать, какие два натуральных числа являются взаимно простыми. В учебнике утверждается, что два различных простых числа, а также два соседних натуральных числа взаимно простые. Можно добавить, что если из двух натуральных чисел одно простое, а другое на него не делится, то эти числа взаимно простые. Доказательства этих утверждений просты. Приведём их.

У любых двух простых чисел имеется только один общий делитель - число 1. Поэтому эти числа взаимно простые. (Это решение задания 670 .)

Разность двух соседних натуральных чисел равна 1. Если предположить, что эти числа имеют общий делитель, отличный от 1, то на него должно делиться число 1. Но 1 не делится ни на одно натуральное число, отличное от 1. Поэтому два соседних натуральных числа взаимно простые. (Это решение задания 671 .)

Если из двух натуральных чисел одно простое, а другое на него не делится, то у этих чисел есть только один общий делитель - число 1. Поэтому эти числа взаимно простые.

Отметим, что увлекаться решением сложных задач на нахождение НОД двух (и более) чисел не следует, так как это умение будет применяться редко. Но

учащиеся должны хорошо усвоить, что:

если натуральные числа а иb взаимно простые, то НОД (а ,b ) = 1; если натуральное числоа делится наb , то НОД (а ,b ) =b .

РТ. При изучении этой темы можно использовать задания253−259 .

Решения и комментарии

676. а) Даны разложения чисела иb на простые множители. Найдите НОД

(а ,b ):а = 23 34 5 72 ,b = 22 35 52 7.

Решение. НОД (а ,b ) должен содержать все общие делители чисела иb , поэтому НОД (а ,b ) = 22 34 5 7 (вычислять это произведение не нужно).

678. Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число участников может быть в каждой команде? Сколько команд получится?

Решение. НОД (36, 24) = 12, поэтому 12 - наибольшее число участников в каждой команде. Получится 36: 12 + 24: 12 = 5 команд с наибольшим числом участников.

3.6. Наименьшее общее кратное

В данном пункте учебника вводятся понятия общего кратного двух натуральных чисел, наименьшего общего кратного двух натуральных чисел.

Отметим, что увлекаться решением сложных задач на нахождение НОК двух (и более) чисел не следует, так как это умение будет применяться редко. Но учащиеся должны хорошо усвоить, что:

если натуральные числа а иb взаимно простые, то НОК (а ;b ) =аb ; если натуральное числоа делится наb , то НОК (а ;b ) =а .

РТ. При изучении этой темы можно использовать задания 260–268.

Решения и комментарии

694. а) Даны разложения чисела иb на простые множители. Найдите НОД (а ,b ) и НОК (а ,b ):а = 23 34 5,b = 24 35 52 .

Решение. НОД (а ,b ) = 23 34 5; НОК (а ,b ) = 24 35 52 .

Ответ. 7 оборотов и 4 оборота.

Промежуточный контроль. ДМ. С–12.

Дополнения к главе 3

1. Использование чётности при решении задач

В данном пункте учебника рассмотрены решения задач, в которых используется идея чётности чисел. Здесь рассмотрена задача о рисовании так называемых уникурсальных фигур (которые рисуются без отрыва карандаша от бумаги).

Решения и комментарии

703. Записано четыре числа: 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается прибавить 1

к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 равных

12, 8, 4, 3, 7, 8.

2. Исторические сведения

В данном пункте учебника приведены сведения о простых числах, о решете Эратосфена, «формула» простых чисел Л. Эйлера, сформулированы некоторые решённые и нерешённые задачи, связанные с простыми числами.

3. Занимательные задачи Решения и комментарии

714. а) Почему после «просеивания» чисел, кратных 2, 3, 5, 7, в таблице

натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа?

б) На каком числе следует остановить «просеивание», если в таблице будет 150; 10 000 первых натуральных чисел?

715. а) Петя придумал новую формулу для нахождения простых чисел: Р

П 2 + п + 41. Для любых ли натуральныхп числоР простое?

Решение. Нет. Для простого числа 41 числоР = 412 + 41+ 41 делится на 1, на 41 и наР , т. е. числоР составное.

легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.

Натуральное число, оно делится на 9. При других перестановках цифр разности 100a –a , 100a – 10a , 10a –a и др. делятся на 9, поэтому получаемая разность всегда будет делиться на 9.

Теперь зачёркнутую цифру легко определить, так как сумма цифр разности должна делиться на 9.

721. Старший брат выписал из справочника число 15! (см. задачу719 ), а Вася случайно поставил в его тетради кляксу на одну цифру. Вот что из этого получилось (рис. 38).

Определите пропавшую цифру без справочника и не вычисляя произведение 1 2 3 ... 15.

Решение. Число 15! делится на 9, так как содержит множитель 9. Сумма оставшихся без кляксы цифр равна

1 + 3 + 0 + 6 + 7 + 4 + 3 + 6 + 8 + 0 + 0 + 0 = 38.

Если под кляксой оказалась одна из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, то сумма

727. Головоломка. Имеется 3 штырька, на один из которых насажены 3 кольца (рис. 39). За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк, если за один ход разрешается переносить только одно кольцо; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее? Решите задачу: а) для четырёх колец; б) для пяти колец.

Сначала решим задачу для двух колец. Очевидно, что пирамиду из двух колец можно перенести за три хода.

а) Рассуждая аналогично, пирамиду из четырёх колец перенесём за 7 + 1

7 = 15 ходов.

б) Пирамиду из пяти колец перенесём за 15 + 1 + 15 = 31 ход.

Глава 4. Обыкновенные дроби

В этой главе изучаются в полном объёме обыкновенные дроби по плану, намеченному в главе 1. Важно, чтобы каждый учащийся понял, что действия с обыкновенными дробями сводятся к нескольким действиям с натуральными числами. Здесь снова вводятся элементы доказательных рассуждений при изучении теоретического материала, а также решение текстовых задач арифметическими способами.

Цели изучения главы:

сформировать у учащихся осознанные умения выполнять арифметические действия над обыкновенными дробями;

продолжить развитие языка и логического мышления учащихся при изучении теоретического материала и при решении текстовых задач арифметическими методами.

4.1. Понятие дроби

В данном пункте учебника вводятся понятия обыкновенной дроби (коротко: дроби), её числителя и знаменателя, рационального числа. Отмечается, что любое натуральное число считается дробью со знаменателем 1. Первый пункт нацелен на формирование понятия дроби и подготовки учащихся к изучению сравнения дробей и арифметических действий с ними. Здесь решаются простейшие задачи на дроби, ведётся подготовка к решению задач на совместную работу. Поэтому надо особенно внимательно отнестись ко всем заданиям пункта, даже если они кажутся простыми. Однако подводить учащихся к формулировкам правил решения таких задач рано, это можно будет сделать при изучении пункта 4.3. А пока главным объектом изучения является дробь, задачи лишь помогают лучше понять, что показывают её числитель и знаменатель.

РТ. При изучении данного пункта можно использовать задания 269–281 .

Решения и комментарии

745. Из пакета с картофелем, вес которого 3 кг, отсыпали 1 кг. Какая часть картофеля осталась в пакете?

Решение. В пакете осталось 3 – 1 = 2 кг картофеля, 2 кг составляют2 3 от 3

747. а) Работу выполнили за 4 ч. Какую часть работы выполняли за каждый

Решение. За каждый час выполняли1 часть работы.

748. а) Путник проходит в час1 5 пути. За сколько часов он пройдёт весь

Решение. Путник пройдёт весь путь за 5 ч.

расстояния.

Замечание. Задания, аналогичные заданиям 747–749 , должны присутствовать в устной работе на ближайших уроках, ответы на них получаются с помощью рассуждений. Лишь после изучения всех действий с дробями эти ответы можно будет получить в результате действий с дробями.

4.2. Равенство дробей

В данном пункте учебника вводится понятие равенства дробей, на конкретных примерах разъясняется, почему, например, 1 2 =2 4 . Вводятся понятия

сокращения дроби и несократимой дроби.

изучения деления дробей) будет доказано, например, что 2 3 = 2: 3, поэтому дробь