Тест м ц манна уитни выводы. U-критерий Манна-Уитни в дипломной, курсовой и магистерской работе по психологии

U-критерий Манна-Уитни – непараметрический статистический критерий, используемый для сравнения двух независимых выборок по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Метод основан на определении того, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя вариационными рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

1. История разработки U-критерия

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году американским химиком и статистиком Фрэнком Уилкоксоном .
В 1947 году он был существенно переработан и расширен математиками Х.Б. Манном (H.B. Mann) и Д.Р. Уитни (D.R. Whitney), по именам которых сегодня обычно и называется.

2. Для чего используется U-критерий Манна-Уитни?

U-критерий Манна-Уитни используется для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо количественного признака.

3. В каких случаях можно использовать U-критерий Манна-Уитни?

U-критерий Манна-Уитни является непараметрическим критерием, поэтому, в отличие от t-критерия Стьюдента , не требует наличия нормального распределения сравниваемых совокупностей.

U-критерий подходит для сравнения малых выборок: в каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было 2 значения, но во второй тогда должно быть не менее пяти.

Условием для применения U-критерия Манна-Уитни является отсутствие в сравниваемых группах совпадающих значений признака (все числа – разные) или очень малое число таких совпадений.

Аналогом U-критерия Манна-Уитни для сравнения более двух групп является Критерий Краскела-Уоллиса .

4. Как рассчитать U-критерий Манна-Уитни?

Сначала из обеих сравниваемых выборок составляется единый ранжированный ряд , путем расставления единиц наблюдения по степени возрастания признака и присвоения меньшему значению меньшего ранга. В случае равных значений признака у нескольких единиц каждой из них присваивается среднее арифметическое последовательных значений рангов.

Например, две единицы, занимающие в едином ранжированном ряду 2 и 3 место (ранг), имеют одинаковые значения. Следовательно, каждой из них присваивается ранг равный (3 + 2) / 2 = 2,5.

В составленном едином ранжированном ряду общее количество рангов получится равным:

N = n 1 + n 2

где n 1 - количество элементов в первой выборке, а n 2 - количество элементов во второй выборке.

Далее вновь разделяем единый ранжированный ряд на два, состоящие соответственно из единиц первой и второй выборок, запоминая при этом значения рангов для каждой единицы. Подсчитываем отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно - на долю элементов второй выборки. Определяем большую из двух ранговых сумм (T x ) соответствующую выборке с n x элементами.

Наконец, находим значение U-критерия Манна-Уитни по формуле:

5. Как интерпретировать значение U-критерия Манна-Уитни?

Полученное значение U-критерия сравниваем по таблице для избранного уровня статистической значимости (p=0.05 или p=0.01 ) с критическим значением U при заданной численности сопоставляемых выборок:

Если полученное значение U меньше табличного или равно ему, то признается статистическая значимость различий между уровнями признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Достоверность различий тем выше, чем меньше значение U.
Если же полученное значение U больше табличного, принимается нулевая гипотеза.

По уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками.

Другие названия: критерий Манна - Уитни - Уилкоксона (англ. Mann - Whitney - Wilcoxon, MWW ), критерий суммы рангов Уилкоксона (англ. Wilcoxon rank-sum test ) или критерий Уилкоксона - Манна - Уитни (англ. Wilcoxon - Mann - Whitney test ). Реже: критерий числа инверсий .

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

✪ U-критерий МАННА-УИТНИ | АНАЛИЗ ДАННЫХ #8

✪ U-критерий МАННА-УИТНИ в STATISTICA #03 | СТАТИСТИКА STATISTICA

✪ U критерий Манна Уитни

Субтитры

История

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году Фрэнком Уилкоксоном (F. Wilcoxon ). В 1947 году он был существенно переработан и расширен Х. Б. Манном (H. B. Mann ) и Д. Р. Уитни (D. R. Whitney ), по именам которых сегодня обычно и называется.

Описание критерия

Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума .

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

Ограничения применимости критерия

В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.
В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа - разные) или таких совпадений должно быть очень мало (до 10).

Использование критерия

Для применения U-критерия Манна - Уитни нужно произвести следующие операции.

Составить единый ранжированный ряд из обеих сопоставляемых выборок, расставив их элементы по степени нарастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг. Общее количество рангов получится равным: N = n 1 + n 2 , {\displaystyle N=n_{1}+n_{2},} где - количество элементов в первой выборке, а - количество элементов во второй выборке.
Разделить единый ранжированный ряд на два, состоящие соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно - на долю элементов второй выборки. Определить большую из двух ранговых сумм ( T x {\displaystyle T_{x}} ), соответствующую выборке с n x {\displaystyle n_{x}} элементами.
Определить значение U-критерия Манна - Уитни по формуле: U = n 1 ⋅ n 2 + n x ⋅ (n x + 1) 2 − T x . {\displaystyle U=n_{1}\cdot n_{2}+{\frac {n_{x}\cdot (n_{x}+1)}{2}}-T_{x}.}
По таблице для избранного уровня статистической значимости определить критическое значение критерия для данных n 1 {\displaystyle n_{1}} и n 2 {\displaystyle n_{2}} . Если полученное значение U {\displaystyle U} меньше табличного или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение U {\displaystyle U} больше табличного, принимается

U-критерий является ранговым , поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Другие названия: критерий Манна-Уитни-Уилкоксона (Mann-Whitney-Wilcoxon, MWW), критерий суммы рангов Уилкоксона (Wilcoxon rank-sum test) или критерий Уилкоксона-Манна-Уитни (Wilcoxon-Mann-Whitney test, WMW).

Примеры задач

Пример 1. Первая выборка - это пациенты, которых лечили препаратом А. Вторая выборка - пациенты, которых лечили препаратом Б. Значения в выборках - это некоторая характеристика эффективности лечения (уровень метаболита в крови, температура через три дня после начала лечения, срок выздоровления, число койко-дней, и т.д.) Требуется выяснить, имеется ли значимое различие эффективности препаратов А и Б, или различия являются чисто случайными и объясняются «естественной» дисперсией выбранной характеристики.

Пример 2. Первая выборка - это поля, обработанные агротехническим методом А. Вторая выборка - поля, обработанные агротехническим методом Б. Значения в выборках - это урожайность. Требуется выяснить, является ли один из методов эффективнее другого, или различия урожайности обусловлены случайными факторами.

Пример 3. Первая выборка - это дни, когда в супермаркете проходила промо-акция типа А (красные ценники со скидкой). Вторая выборка - дни промо-акции типа Б (каждая пятая пачка бесплатно). Значения в выборках - это показатель эффективности промо-акции (объём продаж, либо выручка в рублях). Требуется выяснить, какой из типов промо-акции более эффективен.

Описание критерия

Заданы две выборки .

Дополнительные предположения:

Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую гипотезу равенства медиан в двух выборках. Существуют распределения, для которых гипотеза верна, но их медианы различны.

U-критерий можно применять для проверки гипотезы сдвига в качестве альтернативной , где - некоторая константа, отличная от нуля. При этой альтернативе U-критерий является состоятельным . Его целесообразно применять, если одним и тем же прибором проводятся две серии измерений двух значений некоторой физической величины. При этом функция распределения описывает погрешности измерения одного значения, а - другого. Однако во многих приложениях (в частности, эконометрических) нет особых оснований предполагать, что распределение второй выборки лишь сдвигается, но не меняется каким-либо иным образом.

U-критерий является непараметрическим аналогом критерия Стьюдента . Если выборки нормальные , то для проверки гипотезы сдвига предпочтительно применить более мощный критерий Стьюдента.

История

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году Френком Уилкоксоном. В 1947 году он был существенно переработан и расширен Манном и Уитни, по именам которых сегодня обычно и называется.

Литература

Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. - 1947, №18. - Pp. 50-60.
Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. 1945. - Pp. 80–83.
Орлов А. И. Эконометрика. - М.: Экзамен, 2003. - 576 с. (§4.5 Какие гипотезы можно проверять с помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона?)
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. - М.: Физматлит, 2006. - 816 с.

Контрольная работа

Методика «Домик»

Методика «Домик» (Н. И. Гуткина) представляет собой задание на срисовывание картинки с изображением дома, отдельные детали которого состоят из элементов прописных букв. Методика рассчитана на детей в возрасте 5-10 лет и может использоваться для определения готовности ребёнка к школе.

Цель исследования : определить способность ребёнка к копированию сложного образца.

Задание позволяет выявить умение ребёнка ориентироваться по образцу, точно его копировать, определить особенности развития непроизвольного внимания, пространственного восприятия, сенсомоторной координации и мелкой моторики рук.

Материалы : образец рисунка, лист бумаги, карандаш.

Ход исследования

Перед выполнением задания ребёнку даётся инструкция: «Перед тобой лежит лист бумаги и карандаш. Нарисуй на этом листе точно такую же картинку, как здесь (перед малышом кладётся лист с изображением дома). Не спеши, будь внимателен, постарайся, чтобы твой рисунок был точно таким же, как на образце. Если ты что-то нарисуешь не так, не стирай резинкой (проследить, чтобы у ребёнка не было резинки). Нужно поверх неправильного рисунка или возле него нарисовать правильно. Тебе понятно задание? Тогда приступай к работе».

По ходу выполнения задания необходимо зафиксировать:

1. Какой рукой рисует ребёнок (правой или левой).

2. Как он работает с образцом: как часто смотрит на него, проводит ли над рисунком-образцом линии, повторяющие контуры картинки, сравнивает ли нарисованное с образцом или рисует по памяти.

3. Быстро или медленно проводит линии.

4. Отвлекается ли во время работы.

5. Высказывания и вопросы во время рисования.

6. Сверяет ли после окончания работы свой рисунок с образцом.

Когда ребёнок сообщает об окончании работы, ему предлагается проверить, всё ли у него правильно. Если он увидит неточности в своём рисунке, то может их исправить, но это должно быть зафиксировано экспериментатором.

Обработка и анализ результатов

Обработка экспериментального материала проводится методом подсчёта баллов, которые начисляются за ошибки. Ошибки бывают такими.

1. Отсутствие любой детали картины (4 балла). На рисунке может отсутствовать забор (одна или две половины), дым, труба, крыша, штриховка на крыше, окно, линия, изображающая основу дома.

2. Увеличение отдельных деталей рисунка более чем в два раза при относительно правильном сохранении размера всего рисунка (3 балла за каждую увеличенную деталь).

3. Неправильно изображён элемент рисунка (3 балла). Неправильно могут быть изображены кольца дыма, забор, штриховка на крыше, окно, труба. Причём если неправильно нарисованы палочки, из которых состоит правая (левая) часть забора, то 2 балла начисляется не за каждую неправильную палочку, а за всю правую (левую) часть забора в целом. То же касается и колец дыма, выходящих из трубы, и штриховки на крыше дома: 2 балла начисляется не за каждое неправильное кольцо, а за весь неправильно скопированный дым; не за каждую неправильную линию в штриховке, а за всю штриховку крыши в целом.

Правая и левая части забора оцениваются отдельно: так, если неправильно срисована правая часть, а левая скопирована без ошибок (или наоборот), то ребёнок получает за нарисованный забор 2 балла; если же допущены ошибки и в правой, и в левой части, то 4 балла (за каждую часть по 2 балла). Если часть правого (левого) бока забора скопированы правильно, а часть неправильно, то за этот бок забора начисляется 1 балл; то же касается и колец дыма, и штриховки на крыше: если только одна часть колец дыма срисована правильно, то дым оценивается в 1 балл; если только одна часть штриховки на крыше воспроизведена правильно, то вся штриховка оценивается в 1 балл. Неправильно воспроизведенное количество элементов в детали рисунка не считается ошибкой, то есть не важно, сколько будет палочек на заборе, колец дыма или линий в штриховке крыши.

4. Неправильное расположение деталей в пространстве рисунка (1 балл). К ошибкам этого вида относятся: расположение забора не на общей с основой дома линии, а выше её, дом как будто висит в воздухе или ниже линии основы дома; смещение трубы к левому краю крыши; существенное смещение окна в любую сторону от центра; расположение дыма более чем на 30° отклонения от горизонтальной линии; основа крыши по размеру соответствует основе дома, а не превышает её (на образце крыша нависает над домом).

5. Отклонение прямых линий более чем на 30° от заданного направления (1 балл): вертикальных и горизонтальных линий, из которых состоит дом и крыша; палочек забора; изменение угла наклона боковых линий крыши (расположение их под прямым или тупым углом к основе крыши вместо острого); отклонение линии основы забора более чем на 30° от горизонтальной линии.

6. Разрывы между линиями в тех местах, где они должны быть соединены (1 балл за каждый разрыв). В том случае если линии штриховки на крыше не доходят до линии крыши, 1 балл ставится за всю штриховку в целом, а не за каждую неправильную линию штриховки.

7. Линии налезают друг на друга (1 балл за каждое налезание). В случае если линии штриховки на крыше залезают за линии крыши, 1 балл ставится за всю штриховку в целом, а не за каждую неправильную линию штриховки.

Хорошее выполнение рисунка оценивается в «0» баллов. Таким образом, чем хуже выполнено задание, тем выше суммарная оценка. Однако при интерпретации результатов эксперимента необходимо учитывать возраст ребёнка. Пятилетние дети почти не получают оценки «0» из-за недостаточной зрелости мозговых структур, отвечающих за сенсомоторную координацию.

При анализе детского рисунка необходимо обратить внимание на характер линий: очень жирные или «косматые» линии могут свидетельствовать о состоянии тревожности ребёнка. Но вывод о тревожности ни в коем случае нельзя делать лишь на основании этого рисунка. Подозрения необходимо проверить специальными методиками по определению тревожности.

Дети с зпр	Результаты в баллах	Дети в норме	результаты

Представим полученные данные в виде Гистограммы 1.

Гистограмма 1. Результаты, полученные по методике «Домик»

Постройте мне пожалуйста гистограму вот такую. Дети с задержкой психического развития имеют выше среднего (около 10%) и) средний уровень развития (около 30% и ниже среднего (60%)

В среднем дети с нормальным развитием имеют высокий уровень развития (около 60%), средний уровень развития (около 20%) и выше среднего 20%. Вы и тут тоже неправильно подписали мне преподаватель перечеркнул и сказал нечитаемо. вы должны были подписать 10 % выше среднего а не низкое как в 1-м красном столбце. Во 2 красном столбце подписать средний уровень развития (около 30%) а не низкий и в третьем красном ниже среднего 60. И вот по такой гистограмме вы должны построить измененную гистограмму. Я провела коррекционную работу и количество детей изменилось якобы: с низким уровнем ниже среднего большинство из них стало приближаться к среднему 60% детей, 40 % приближаться к высокому это дети со средним значением были. Т. Е. нужно построить экспериментальную группу и зпр: со средним 60 % и 40 высокое.

И мне нужно составить таблицу по критерию мани уитни нужно изменить данные опять таки чтобы ниже среднего уровень приближался к среднему и средний к высокому. Распишите пожалуйста таблицу количество испытуемых было 10 человек норма и 10 зпр. Просто мне не очень понятно как вы ранжировали как я понимаю вы подогнали результаты (об этом я вас просила) и проставили ранги а далее действовали по формуле… если не так то объясните. Грядёт защита курсовой. Расчёты будет проверять сам доцент кафедры психологии. Пожалуйста помогите..

Назначение U-критерия Манна-Уитни

Настоящий статистический метод был предложен Фрэнком Вилкоксоном (см. фото) в 1945 году. Однако в 1947 году метод был улучшен и расширен Х. Б. Манном и Д. Р. Уитни, посему U-критерий чаще называют их именами.

Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n 1 ,n 2 ≥3 или n 1 =2, n 2 ≥5, и является более мощным, чем критерий Розенбаума.

Описание U-критерия Манна-Уитни

Существует несколько способов использования критерия и несколько вариантов таблиц критических значений, соответствующих этим способам (Гублер Е. В., 1978; Рунион Р., 1982; Захаров В. П., 1985; McCall R., 1970; Krauth J., 1988).

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Мы помним, что 1-м рядом (выборкой, группой) мы называем тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а 2-м рядом - тот, где они предположительно ниже.

Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Иногда эти различия называют различиями в расположении двух выборок (Welkowitz J. et al., 1982).

Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше U эмп, тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы U - критерия Манна-Уитни

U -критерий Манна-Уитни используется для оценки различий между двумя малыми выборками (n 1 , n 2 ≥3 или n 1 =2, n 2 ≥5) по уровню количественно измеряемого признака.

Нулевая гипотеза H 0 ={уровень признака во второй выборке не ниже уровня признака в первой выборке}; альтернативная гипотеза - H 1 ={уровень признака во второй выборке ниже уровня признака в первой выборке}.

Рассмотрим алгоритм применения U-критерия Манна-Уитни:

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки, пометив карточки 1-й выборки одним цветом, а 2-й - другим.

2. Разложить все карточки в единый ряд по степени возрастания признака и проранжировать в таком порядке.

3. Вновь разложить карточки по цвету на две группы.

5. Определить большую из двух ранговых сумм .

6. Вычислить эмпирическое значение U :

, где - количество испытуемых в - выборке (i = 1, 2), - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

7. Задать уровень значимости α и, используя специальную таблицу, определить критическое значение U кр (α) . Если , то H 0 на выбранном уровне значимости принимается.

Рассмотрим использование U критерия Манна-Уитни для нашего примера.

При ранжировании объединяем две выборки в одну. Ранги присваиваются в порядке возрастания значения измеряемой величины, т.е. наименьшему рангу соответствует наименьший балл. Заметим, что в случае совпадения баллов для нескольких испытуемых ранг такого балла следует считать, как среднее арифметическое тех позиций, которые занимают данные баллы при их расположении в порядке возрастания.

Используя предложенный принцип ранжирования, получим таблицу рангов. Заметим, что выбор среднего арифметического в качестве ранга применяется при любом ранжировании.

Чтобы использовать критерий Манна-Уитни, рассчитаем суммы рангов рассматриваемых выборок (см. таблицу).

Проведение исследования по методике дало следующие результаты:

Результаты расчета U-критерия Манна-Уитни по результатам исследования представлены в таблице 1 (ранжирование), на рисунке 1 (ось значимос ти):

	Дети в норме	Ранг 1	Дети с ЗПР	Ранг 2










Суммы:		72.5		137.5

17,5 19

Сумма для первой выборки равна 72,5, для второй - 137,5. Обозначим наибольшую из этих сумм через T x (T x =137.5). Среди объёмов n 1 =10 и n 2 =10 выборок наибольший обозначим n x 17,5

Полученное эмпирическое значение U эмп (17,5) находится в зоне значимости, а, следовательно, наша гипотеза подтвердилась.

Критическое значение критерия находим по специальной таблице. Пусть уровень значимости равен 0.05.

Гипотеза H0 о незначительности различий между баллами двух выборок принимается, если < . В противном случае H0 отвергается и различие определяется как существенное.

Следовательно, различия в уровне можно считать существенными.

Схема использования критерия Манна-Уитни выглядит следующим образом

U-критерий Манна - Уитни (англ. Mann - Whitney U-test ) - статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками.

Wilcoxon rank-sum test ). Реже: критерий числа инверсий.

История

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году Фрэнком Уилкоксоном (F. Wilcoxon H. B. Mann ) и Д. Р. Уитни (D. R. Whitney

Описание критерия

В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа - разные) или таких совпадений должно быть очень мало (до 10).

Использование критерия

Составить единый ранжированный ряд из обеих сопоставляемых выборок, расставив их элементы по степени нарастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг. Общее количество рангов получится равным: N = n 1 + n 2 , {\displaystyle N=n_{1}+n_{2},} где n 1 {\displaystyle n_{1}} - количество элементов в первой выборке, а n 2 {\displaystyle n_{2}} - количество элементов во второй выборке.
Разделить единый ранжированный ряд на два, состоящие соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно - на долю элементов второй выборки. Определить большую из двух ранговых сумм (T x {\displaystyle T_{x}}), соответствующую выборке с n x {\displaystyle n_{x}} элементами.
Определить значение U-критерия Манна - Уитни по формуле: U = n 1 ⋅ n 2 + n x ⋅ (n x + 1) 2 − T x . {\displaystyle U=n_{1}\cdot n_{2}+{\frac {n_{x}\cdot (n_{x}+1)}{2}}-T_{x}.}
По таблице для избранного уровня статистической значимости определить критическое значение критерия для данных n 1 {\displaystyle n_{1}} и n 2 {\displaystyle n_{2}} . Если полученное значение U {\displaystyle U} меньше табличного или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение U {\displaystyle U} больше табличного, принимается нулевая гипотеза. Достоверность различий тем выше, чем меньше значение U {\displaystyle U} .
При справедливости нулевой гипотезы критерий имеет математическое ожидание M (U) = n 1 ⋅ n 2 2 {\displaystyle M(U)={\frac {n_{1}\cdot n_{2}}{2}}} и дисперсию D (U) = n 1 ⋅ n 2 ⋅ (n 1 + n 2 + 1) 12 {\displaystyle D(U)={\frac {n_{1}\cdot n_{2}\cdot (n_{1}+n_{2}+1)}{12}}} и при достаточно большом объёме выборочных данных (n 1 > 19 , n 2 > 19) {\displaystyle (n_{1}>19,\;n_{2}>19)} распределён практически нормально.

Таблица критических значений

Расчет критических значений U-критерия Манна - Уитни для выборок больше 20 (N>20)(недоступная ссылка с 10-02-2017 )

Критерий Манна-Уитни: пример, таблица

Критерий в математической статистике - это строгое правило, в соответствии с которым гипотеза с определённым уровнем значимости принимается или отвергается. Чтобы построить его, необходимо найти определенную функцию. Она должна зависеть от конечных результатов эксперимента, то есть от эмпирически найденных значений. Именно эта функция будет являться инструментом оценки расхождения между выборками.

Статистически значимая величина. Общие сведения

Статистическая значимость – это величина, вероятность случайного возникновения которой очень мала. Незначительны также и более крайние ее показатели. Разницу называют статистически значимой в том случае, если существуют данные, вероятность появления которых незначительна, если утверждать, что эти расхождения не существуют. Но это не значит вовсе, что эта разница обязательно должна быть велика и значима.

Уровень статистической достоверности теста

Под данным термином следует понимать вероятность отклонения нулевой гипотезы в случае её истинности. Это также называется ошибкой первого рода или ложноположительным решением. В большинстве случаев процесс опирается на p-величину ("пи-величина"). Это накопленная вероятность при наблюдении за уровнем статистического критерия. Он, в свою очередь, насчитывается по выборке во время принятия нулевой гипотезы. Предположение будет отвергнуто, если эта p-величина будет меньше заявленного аналитиком уровня. От этого показателя зависит напрямую значимость тестовой величины: чем она меньше, тем, соответственно, и больше оснований отвергнуть гипотезу.
Уровень значимости, как правило, обозначается буквой б (альфа). Популярные показатели среди специалистов: 0,1%, 1%, 5% и 10%. Если, скажем, говорится, что шансы на совпадения равны 1 к 1000, то определённо речь идёт об уровне 0,1% статистической значимости случайной величины. Различные по значению б-уровни имеют свои плюсы и минусы. Если показатель меньше, то больше вероятность, что альтернативная гипотеза значимая. Хотя при этом возможен риск, что ложное нулевое предположение не будет отвергнуто. Можно сделать вывод, что выбор оптимального б-уровня зависит от баланса "значимость-мощность" или, соответственно, от компромисса вероятностей ложноположительного и ложноотрицательного решений. Синонимом "статистической значимости" в отечественной литературе является термин "достоверность".

Определение нулевой гипотезы

В математической статистике это предположение, проверяемое на согласованность с уже имеющимися в запасе эмпирическими данными. В большинстве случаев в качестве нулевой гипотезы берётся гипотеза о том, что корреляция между исследуемыми переменными отсутствует или что в изучаемых распределениях нет различий однородности. При стандартных исследованиях математик пытается опровергнуть нулевую гипотезу, то есть доказать, что она не согласована с экспериментально полученными данными. Причем должно иметь место и альтернативное предположение, которое принимается вместо нулевого.

Ключевое определение

Критерий U (Манна-Уитни) в математической статистике позволяет оценивать различия двух выборок. Они могут быть даны по уровню некоего признака, который измерен количественно. Этот метод идеален для оценки различий малых выборок. Этот простой критерий был предложен Фрэнком Уилкоксоном в 1945 году. А уже в 1947 году метод был пересмотрен и дополнен учёными Х. Б. Манном и Д. Р. Уитни, именами которых он и именуется по сей день. Критерий Манна-Уитни в психологии, математике, статистике и во многих других науках является одним из основополагающих элементов математического обоснования результатов теоретических исследований.

Описание

Критерий Манна-Уитни - относительно простой метод без параметров. Его мощность значительна. Она существенно выше, чем мощность Q-критерия Розенбаума. Метод оценивает, насколько мала область перекрёстных значений между выборками, а именно между ранжированными рядами значений первой и второй подборки. Чем значение критерия меньше, тем больше вероятность, что расхождения значений параметра достоверны. Чтобы корректно применить критерий U (Манна-Уитни), не стоит забывать о некоторых ограничениях. В каждой выборке должно быть как минимум 3 значения признака. Возможна ситуация, когда в одном случае значений два, но во втором обязательно тогда их должно быть хотя бы пять. В исследуемых выборках должно быть минимальное количество совпадающих показателей. Все числа должны быть разными в идеальном случае.

Использование

Как правильно использовать критерий Манна-Уитни? Таблица, которая составлена по данному методу, содержит определенные критические значения. Для начала нужно создать единый ряд из обеих сопоставленных выборок, который затем ранжируется. То есть элементы выстраиваются по степени нарастания признака, и меньший ранг присваивается меньшему значению. В итоге получим такое общее число рангов:

N = N1 + N2,

где величины N1 и N2 - количество единиц, содержащихся в первой и второй выборках соответственно. Далее единый ранжированный ряд значений делится на две категории. Единицы, соответственно, из первой и второй выборок. Теперь считается по очереди сумма рангов значений в первом и во втором рядах. Определяется большая из них (Tx), которая соответствует выборке с nx единицами. Чтобы использовать метод Уилкоксона далее, вычисляется его значение по следующей методике. Необходимо по таблице для выбранного уровня значимости выяснить критическое значение этого критерия для конкретно взятых N1 и N2.
Получившийся показатель может быть меньше или равен значению из таблицы. В этом случае констатируется значительное различие уровней признака в исследуемых выборках. Если полученное значение больше табличного, тогда нулевая гипотеза принимается. Когда производится расчет критерия Манна-Уитни, следует заметить, что если нулевая гипотеза справедлива, критерий будет иметь математическое ожидание, а также дисперсию. Отметим, что при достаточно больших объёмах данных выборок метод считается практически нормально распределенным. Достоверность различий тем выше, чем меньшее значение принимает критерий Манна-Уитни.

Значения критерия Пирсона (критерия)

Таблицы вероятностей, связанных со значениями критерия Манна-Уитни.

Таблицы вероятностей, связанных со значениями критерия Манна-Уитни. Для экспериментального значения критерия (меньшего из двух значений) и объемов выборок находят вероятность того, что обе группы принадлежат одной генеральной совокупности. Таким образом, низкое значение вероятности, например, Р

Таблица 3.

Таблица 4.

Таблица 5.

Таблица 6.

Таблица критических значений критерия Манна-Уитни для уровня значимости .

Если , то различие между выборками достоверно для , то есть нулевую гипотезу следует отвергнуть.

N 2

N 1

2. U – критерий Манна-Уитни

Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n1 и n2 больше или равны 3 (либо n1 = 2, а n2 тогда больше или равно 5.)

Метод определяет, достаточно ли мала зона пересекающихся значений между двумя рядами. Чем меньше эта область, тем более вероятно, что различия достоверны. Эмпирическое (фактически полученное) значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Чем меньше Uэмп., тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы.

Но: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

Н1: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Ограничения критерия U.

1. В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений или, в крайнем случае, допускается соотношение 2 к 5 или более.

2. В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений.

Алгоритм подсчета критерия U – Манна-Уитни.

1.Перенести все данные выборок на индивидуальные карточки (на которых цветом или как-то еще будет отражено, к какой из выборок принадлежит значение).

2. Разложить все карточки в общий ряд по мере нарастания признака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся.

3. Проранжировать (согласно алгоритму ранжирования) значения на карточках, приписывая меньшему значению меньший ранг. Всего рангов должно быть n1 + n2 (объем первой выборки + объем второй выборки).

4. Заново разложить карточки в два ряда, по признаку принадлежности к выборке 1 или выборке 2.

6. Определить большую из двух ранговых сумм.

7. Определить значение U по формуле:

8. Определить из таблиц критические значения U, в соответствии с этим, принять либо отклонить гипотезу Но.

3. Н – критерий Крускала - Уоллиса

Критерий Нприменяется для оценки различий по степени выраженности анализируемого признака одновременно между тремя, четырьмя и более выборками. Он позволяет выявить степень изменения признака в выборках, не указывая, однако, на направление этих изменений.

Критерий основан на том принципе, что чем меньше взаимопересечение выборок, тем выше уровень значимости Н эмп . Следует подчеркнуть, что в выборках может быть разное количество испытуемых, хотя в приведенных ниже задачах приводится равное число испытуемых в выборках.

Работа с данными начинается с того, что все выборки условно объединяются по порядку встречающихся величин в одну выборку и значениям этой объединенной выборки проставляются ранги. Затем полученные ранги проставляются исходным выборочным данным и по каждой выборке отдельно подсчитывается сумма рангов. Критерий построен на следующей идее – если различия между выборками незначимы, то и суммы рангов не будут существенно отличаться одна от другой и наоборот.

Величина Н эмп подсчитывается по формуле:

Н эмп

Где N – общее число членов в обобщенной выборке;

n i – число членов в каждой отдельной выборке;

–квадраты сумм рангов по каждой выборке.

При определении критических значений критерия применительно к четырем и более выборкам используют таблицу для критерия хи -квадрат, подсчитав предварительно число степеней свободы v для с = 4. Тогда v = с – 1 = 4 – 1=3..

Подчеркнем, что если использовать критерии, позволяющие сравнивать только два ряда значений, то полученный выше результат потребовал бы шести сравнений – первая выборка со второй, третьей и т.д.

Для использование критерия Н необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение должно быть проведено в шкале порядка, интервалов или отношений.

2. Выборки должны быть незагисимыми.

3. Допускается разное число испытуемых в сопоставляемых выборках.

4. При сопоставлении трех выборок допускается, чтобы в одной из них было n = 3, а в двух других n = 2. Однако в таком случае различия могут быть зафиксированы лишь на 5 % уровне значимости.

5. Таблица 9 Приложения предусмотрена только для трех выборок и {n 1n 2, n З}, £ 5, то есть максимальное число испытуемых во всех трех выборках может быть меньше и равно 5.

6. При большем числе выборок и разном количестве испытуемых в каждой выборке следует пользоваться таблицей для критерия хи -квадрат. В этом случае число степеней свободы при этом определяется по формуле: v = с – 1, где с – количество сопоставляемых выборок.

U-критерий Манна - Уитни это:

U-критерий Манна - Уитни

U-критерий Манна - Уитни (англ. Mann - Whitney U-test ) - статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками.

Другие названия: критерий Манна - Уитни - Уилкоксона (англ. Mann - Whitney - Wilcoxon, MWW ), критерий суммы рангов Уилкоксона (англ. Wilcoxon rank-sum test ) или критерий Уилкоксона - Манна - Уитни (англ. Wilcoxon - Mann - Whitney test ).

История

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году Френком Уилкоксоном (F. Wilcoxon ). В 1947 году он был существенно переработан и расширен Х. Б. Манном (H. B. Mann ) и Д. Р. Уитни (D. R. Whitney ), по именам которых сегодня обычно и называется.

Описание критерия

Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума.

Ограничения применимости критерия

В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.
В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа - разные) или таких совпадений должно быть очень мало.

Использование критерия

Для применения U-критерия Манна - Уитни нужно произвести следующие операции.

Автоматический расчет U-критерия Манна - Уитни

Таблица критических значений

Таблица критических значений U-критерия Манна - Уитни
Critical Values for the Mann - Whitney U-Test.

См. также

Критерий Краскела - Уоллиса - многомерное обобщение U-критерия Манна - Уитни.

Литература

Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. - 1947. - № 18. - P. 50-60.
Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. - 1945. - P. 80-83.
Гублер Е. В., Генкин А. А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-биологических исследованиях. - Л., 1973.
Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. - С-Пб., 2002.

Wikimedia Foundation. 2010.

U-954
U-точка женщины

Смотреть что такое "U-критерий Манна - Уитни" в других словарях:

U-критерий Манна - U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять… … Википедия

U-критерий Манна-Уитни - (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми … Википедия

Критерий Манна-Уитни

Критерий Манна-Уитни-Вилкоксона - U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

Критерий Манна-Уитни-Уилкоксона - U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

критерий Манна Уитни - - Тематики электросвязь, основные понятия EN Mann Whitney U test … Справочник технического переводчика

Критерий Вилкоксона-Манна-Уитни - U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни - U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

Критерий суммы рангов Вилкоксона - U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

Критерий суммы рангов Уилкоксона - U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

Книги

Статистика и котики, Владимир Савельев. Из этой книги вы узнаете, что такое дисперсия и стандартное отклонение, как найти t-критерий Стьюдента и U-критерий Манна-Уитни, для чего используются регрессионный и факторный анализы,… Подробнее Купить за 280 руб электронная книга