Решить систему уравнений через матрицу. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить".
×
Предупреждение
Очистить все ячейки?
Закрыть Очистить
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:
Учитывая определение обратной матрицы, имеем A −1 A =E , где E - единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:
Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b .
Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом
Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:
Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:
Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :
Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b , где
Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A :
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Обратная матрица вычисляется из следующего выражения.
Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.
Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.
Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.
Матричный метод решения - метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.
Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X = A -1 · B , где A -1 - обратная матрица.
Матричный метод решения состоит в следующем.
Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными:
Её можно переписать в матричной форме: AX = B , где A - основная матрица системы, B и X - столбцы свободных членов и решений системы соответственно:
Умножим это матричное уравнение слева на A -1 - матрицу, обратную к матрице A : A -1 (AX ) = A -1 B
Так как A -1 A = E , получаем X = A -1 B . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A . Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A : detA ≠ 0.
Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0 , действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.
Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений .
Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.
Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они понадобятся для нахождения обратной матрицы.
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Матричный метод позволяет находить решения СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений) любой сложности. Весь процесс решения СЛАУ сводится к двум основным действиям:
Определение обратной матрицы на основании главной матрицы:
Умножение полученной обратной матрицы на вектор-столбец решений.
Допустим, дано СЛАУ следующего вида:
\[\left\{\begin{matrix} 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end{matrix}\right.\]
Начнем решение данного уравнения с выписывания матрицы системы:
Матрица правой части:
Определим обратную матрицу. Найти матрицу 2-го порядка можно следующим образом: 1 - сама матрица должна быть невырожденной; 2 - ее элементы, которые находятся на главной диагонали, меняем местами, а у элементов побочной диагонали выполняем смену знака на противоположный, после чего выполняем деление полученных элементов на определитель матрицы. Получим:
\[\begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -11 \\ 31 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -11 \\ 31 \end{pmatrix} \]
2 матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы. В итоге имеем следующий ответ решения СЛАУ:
Где можно решить систему уравнений матричным методом онлайн?
Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте . Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте.
Назначение сервиса . С помощью данного онлайн-калькулятора вычисляются неизвестные {x 1 , x 2 , ..., x n } в системе уравнений. Решение осуществляется методом обратной матрицы . При этом:- вычисляется определитель матрицы A ;
- через алгебраические дополнения находится обратная матрица A -1 ;
- осуществляется создание шаблона решения в Excel ;
Инструкция . Для получения решения методом обратной матрицы необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполнить матрицу A и вектор результатов B .
См. также Решение матричных уравнений .Алгоритм решения
- Вычисляется определитель матрицы A . Если определитель равен нулю, то конец решения. Система имеет бесконечное множество решений.
- При определителе отличном от нуля, через алгебраические дополнения находится обратная матрица A -1 .
- Вектор решения X ={x 1 , x 2 , ..., x n } получается умножением обратной матрицы на вектор результата B .
Алгебраические дополнения.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Проверка:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1