Решение непрерывности функции онлайн. Калькулятор онлайн.Решение пределов
Подборка онлайн калькуляторов для полного исследования функции и построение графика.
Найти Область определения функции
Вычислить Четность функции
Вычисление точек пересечения графика с осью (нули функции)
Найти экстремумы функции
Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
Построить график функции
Данный калькулятор предназначен для нахождения точек разрыва функции онлайн.
Точки разрыва функции – это точки, в которых функция имеет разрыв, при этом функция в этих точках не является непрерывной.
Существует определенная классификация точек разрыва функции. Точки разрыва функции делятся на точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода.
Точки разрыва первого рода при x=a имеют место быть, если существуют левосторонний и правосторонний пределы: lim(x→a-0)f(x) и lim(x→a+0)f(x). Эти пределы должны быть конечны. Если хотя бы один из односторонних пределов равен нулю или бесконечности, то в таком случае функция имеет точки разрыва второго рода.
Для того чтобы найти точки разрыва функции онлайн, необходимо указать функцию и значение аргумента.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
Исследовать функцию, построить график
План исследования функций и построения графика .
Ответ означает следующее: even - функция четная, odd - функция нечетная, neither even nor odd - функция ни четная ни нечетная.
3. Точки пересечения графика функции с осями координат;
4. Непрерывность функции, точки разрыва;
5. Асимптоты графика функции;
6. Интервалы монотоности и критические точки;
7 . Интервалы выпуклости и точки перегиба;
8. Посторение графика на основании проведённого исследования.
Образовательные онлайн сервисы: теория и практика
Решения типовых задач - Математический анализ
Исследовать функцию на непрерывность, определить характер разрыва.
Пример 1 .
Функция не определена в точках, уже нарушено первое условие непрерывности, следовательно, в этих точках функция испытывает разрыв.
Для выяснения характера разрыва нужно вычислить односторонние пределы в точках.
Так как левый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.
Так как правый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.
Пример 2 Функция определена на всей числовой прямой, но при этом она не является непрерывной, так как, т.е. правый и левый пределы в нуле не равны между собой и не равны значению функции в нуле, нарушены 2 и 3 условия непрерывности. Так как правый и левый пределы в нуле существуют и конечны, то это разрыв I рода.
Пример 3 Функция неопределена в нуле, следовательно, – точка разрыва.
Так как и, то это устранимый разрыв, функцию можно в нуле доопределить “по непрерывности”, положив равной единице.
Пример 4
Функция является элементарной, поэтому она непрерывна в области её определения. В область определения не входят точки, следовательно, они являются точками разрыва данной функции.
Определим тип точек разрыва.
Так как, то точка является точкой
разрыва второго рода функции.
Односторонние пределы функции в точке равны, но функция при не определена, следовательно, является устранимой точкой разрыва первого рода.
Так как заданная функция является четной функцией, то, очевидно, что
И является точкой разрыва второго рода функции.
Для построения эскиза графика функции исследуем поведение функции при
и. Так как функция четная, то
Построим эскиз графика функции.
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики.
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением.
Построим (исследуем) график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x)
Важно : a должно быть меньше b , иначе график не сможет построиться. Cледите за масштабом - если графика на рисунке нету, значит стоит поварьировать значения a и b
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
С применением синуса и косинуса
Гиберболические синус и косинус
Гиберболические тангенс и котангенс
Гиберболические арксинус и арккосинус
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода
Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции
Что умеет находить этот калькулятор:
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x| ) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция - экспонента от x (что и e ^x ) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число - "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание
Контрольная работа РУ - калькуляторы онлайн
На этой странице мы постарались собрать для вас наиболее полную информацию об исследовании функции. Больше не надо гуглить! Просто читайте, изучайте, скачивайте, переходите по отобранным ссылкам.
Общая схема исследования
Для чего нужно это исследование, спросите вы, если есть множество сервисов, которые построят для самых замудренных функций? Для того, чтобы узнать свойства и особенности данной функции: как ведет себя на бесконечности, насколько быстро меняет знак, как плавно или резко возрастает или убывает, куда направлены "горбы" выпуклости, где не определены значения и т.п.
А уже на основании этих "особенностей" и строится макет графика - картинка, которая на самом-то деле вторична (хотя в учебных целях важна и подтверждает правильность вашего решения).
Начнем, конечно же, с плана . Исследование функции - объемная задача (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.
Алгоритм
- Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
- Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
- Найти точки пересечения с осями координат.
- Установить, является ли функция чётной или нечётной.
- Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
- Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
- Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
- Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
- Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
- Построить график и асимптоты.
В разных источниках (учебниках, методичках, лекциях вашего преподавателя) список может иметь отличный от данного вид: некоторые пункты меняются местами, объединяются с другими, сокращаются или убираются. Учитывайте требования/предпочтения вашего учителя при оформлении решения.
Схема исследования в формате pdf: скачать .
Полный пример решения онлайн
Провести полное исследование и построить график функции $$ y(x)=\frac{x^2+8}{1-x}. $$
1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя. $$1-x=0, \quad \Rightarrow \quad x=1.$$ Исключаем единственную точку $x=1$ из области определения функции и получаем: $$ D(y)=(-\infty; 1) \cup (1;+\infty). $$
2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:
Так как пределы равны бесконечности, точка $x=1$ является разрывом второго рода, прямая $x=1$ - вертикальная асимптота.
3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.
Найдем точки пересечения с осью ординат $Oy$, для чего приравниваем $x=0$:
Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0;8)$.
Найдем точки пересечения с осью абсцисс $Ox$, для чего положим $y=0$:
Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.
Заметим, что $x^2+8>0$ для любых $x$. Поэтому при $x \in (-\infty; 1)$ функция $y>0$ (принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при $x \in (1; +\infty)$ функция $y\lt 0$ (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).
4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:
5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.
6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:
Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых $y"=0$):
Получили три критические точки: $x=-2, x=1, x=4$. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:
При $x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$ производная $y" \lt 0$, поэтому функция убывает на данных промежутках.
При $x \in (-2; 1), (1;4)$ производная $y" >0$, функция возрастает на данных промежутках.
При этом $x=-2$ - точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), $x=4$ - точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).
Найдем значения функции в этих точках:
Таким образом, точка минимума $(-2;4)$, точка максимума $(4;-8)$.
7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:
Приравняем вторую производную к нулю:
Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда $x \in (-\infty; 1)$ выполняется $y"" \gt 0$, то есть функция вогнутая, когда $x \in (1;+\infty)$ выполняется $y"" \lt 0$, то есть функция выпуклая.
8) Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .
Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Попробуем определить наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Вычисляем значения $k, b$ по известным формулам:
Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота $y=-x-1$.
9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.
$$ y(-5)=5.5; \quad y(2)=-12; \quad y(7)=-9.5. $$
10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами $x=1$ (синий), $y=-x-1$ (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):
Примеры решений по исследованию функции
Разные функции (многочлены, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при исследовании (разрывы, асимптоты, количество экстремумов, ограниченная область определения), поэтому здесь мы пострались собрать примеры из контрольных на исследование функций наиболее часто встречающихся типов. Удачи в изучении!
Задача 1. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.
$$y=\frac{e^x}{x}.$$
Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.
$$y=-\frac{1}{4}(x^3-3x^2+4).$$
Задача 3. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.
$$y=\ln \frac{x+1}{x+2}.$$
Задача 4. Провести полное исследование функции и построить график.
$$y=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}}.$$
Задача 5. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.
$$y=\frac{x^3-1}{4x^2}.$$
Задача 6. Исследовать функцию на экстремумы, монотонность, выпуклость и построить график.
$$y=\frac{x^3}{x^2-1}.$$
Задача 7. Проведите исследование функции с построением графика.
$$y=\frac{x^3}{2(x+5)^2}.$$
Как построить график онлайн?
Даже если преподаватель требует вас сдавать задание, написанное от руки , с чертежом на листке в клеточку, вам будет крайне полезно во время решения построить график в специальной программе (или сервисе), чтобы проверить ход решения, сравнить его вид с тем, что получается вручную, возможно, найти ошибки в своих расчетах (когда графики явно ведут себя непохоже).
Ниже вы найдете несколько ссылок на сайты, которые позволяют построить удобно, быстро, красиво и, конечно, бесплатно графики практически любых функций. На самом деле таких сервисов гораздо больше, но стоит ли искать, если выбраны лучшие?
Графический калькулятор Desmos
Вторая ссылка практическая, для тех, кто хочет научиться строить красивые графики в Desmos.com (см. выше описание): Полная инструкция по работе с Desmos . Эта инструкция довольно старая, с тех пор интерфейс сайта поменялся в лучшую сторону, но основы остались неизменными и помогут быстро разобраться с важными функциями сервиса.
Официальные инструкции, примеры и видео-инструкции на английском можно найти тут: Learn Desmos .
Решебник
Срочно нужна готовая задача? Более сотни разных функций с полным исследованием уже ждут вас. Подробное решение, быстрая оплата по SMS и низкая цена - около 50 рублей . Может, и ваша задача уже готова? Проверьте!
Полезные видео-ролики
Вебинар по работе с Desmos.com. Это уже полноценный обзор функций сайта, на целых 36 минут. К сожалению, он на английском языке, но базовых знаний языка и внимательности достаточно, чтобы понять большую часть.
Классный старый научно-популярный фильм "Математика. Функции и графики". Объяснения на пальцах в прямом смысле слова самых основ.
Определение точек разрыва функции и их видов является продолжением темы непрерывности функции . Наглядное (графическое) объяснение смысла точек разрыва функции даётся так же в контрасте с понятием непрерывности. Научимся находить точки разрыва функции и определять их виды. И помогут нам в этом наши верные друзья - левый и правый пределы, обобщённо называемые односторонними пределами. Если у кого-то есть страх перед односторонними пределами, то скоро развеем его.
Точки на графике, которые не соединены между собой, называются точками разрыва функции . График такой функции, терпящей разрыв в точке x=2 - - на рисунке ниже.
Обобщением вышесказанного является следующее определение. Если функция не является непрерывной в точке , то она имеет в этой точке разрыв а сама точка называется точкой разрыва . Разрывы бывают первого рода и второго рода .
Для того, чтобы определять виды (характер) точек разрыва функции нужно уверенно находить пределы , поэтому нелишне открыть в новом окне соответствующий урок. Но в связи с точками разрыва у нас появляется кое-что новое и важное - односторонние (левый и правый) пределы. Обобщённо они записываются (правый предел) и (левый предел). Как и в случае с пределом вообще, для того, чтобы найти предел функции, нужно в выражение функции вместо икса подставить то, к чему стремится икс. Но, возможно, спросите вы, чем же будут отличаться правый и левый пределы, если в случае правого к иксу хотя что-то и прибавляется, но это что-то - ноль, а в случае левого из икса что-то вычитается, но это что-то - тоже ноль? И будете правы. В большинстве случаев.
Но в практике поиска точек разрыва функции и определения их вида существует два типичных случая, когда правый и левый пределы не равны:
- у функции существует два или более выражений, зависящих от участка числовой прямой, к которой принадлежит икс (эти выражения обычно записываются в фигурных скобках после f (x )= );
- в результате подстановки того, к чему стремится икс, получается дробь, в знаменателе которой остаётся или плюс ноль (+0) или минус ноль (-0) и поэтому такая дробь означает либо плюс бесконечность, либо минус бесконечность, а это совсем разные вещи.
Точки разрыва первого рода
Точка разрыва первого рода: у функции существуют как конечный (т. е. не равный бесконечности) левый предел, так и конечный правый предел, но функция не определена в точке или левый и правый пределы различны (не равны).
Точка устранимого разрыва первого рода. Левый и правый пределы равны. При этом существует возможность доопределить функцию в точке. Доопределить функцию в точке, говоря просто, значит обеспечить соединение точек, между которыми находится точка, в которой найдены равные друг другу левый и правый пределы. При этом соединение должно представлять собой лишь одну точку, в которой должно быть найдено значение функции.
Пример 1. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва.
Точки разрыва второго рода
Точка разрыва второго рода: точка, в которой хотя бы один из пределов (левый или правый) - бесконечный (равен бесконечности).
Пример 3.
Решение. Из выражения степени при e видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:
Один из пределов равен бесконечности, поэтому точка - точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва - под примером.
Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика .
Пример 4. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции
Решение. Из выражения степени при 2 видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке.
Решение пределов функции онлайн . Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису - . Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для нахождения предела онлайн вы можете вводить как числовые ряды, так и аналитические функции, содержащие константы в буквенном выражении. В этом случае найденный предел функции будет содержать эти константы как постоянные аргументы в выражении. Нашим сервисом решаются любые сложные задачи по нахождению пределов онлайн , достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции . Вычисляя пределы онлайн , можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www.сайт, что приведет с успешному выполнению задачи - вы избежите собственных ошибок и описок. Либо вы полностью можете довериться нам и использовать наш результат в своей работе, не затрачивая лишних усилий и времени на самостоятельные вычисления предела функции. Мы допускаем ввод таких предельных значений, как бесконечность. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и www.сайт вычислит значение предела онлайн на плюс или минус бесконечности.
Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы . С нашим сервисом это не составит никакого труда. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Изучение математического анализа начинается с предельного перехода , пределы используются практически во всех разделах высшей математики, поэтому полезно иметь под рукой сервер для решения лимитов онлайн , каковым является сайт.