Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения систем линейных уравнений матричным способом (см. пример решения подобных задач).

Инструкция . Для онлайн решения необходимо выбрать вид уравнения и задать размерность соответствующих матриц.

Вид уравнения : A·X = B X·A = B A·X·B = C
Размерность матрицы А
Размерность матрицы B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Размерность матрицы C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

где А, В, С - задаваемые матрицы, Х - искомая матрица. Матричные уравнения вида (1), (2) и (3) решаются через обратную матрицу A -1 . Если задано выражение A·X - B = C , то необходимо, сначала сложить матрицы C + B , и находить решение для выражения A·X = D , где D = C + B (). Если задано выражение A*X = B 2 , то предварительно матрицу B надо возвести в квадрат . Рекомендуется также ознакомиться с основными действиями над матрицами .

Пример №1 . Задание . Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1:Умножаем обе части этого равенства слева на A -1 и справа на B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Так как A·A -1 = B·B -1 = E и E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1

Обратная матрица A -1:
Найдем обратную матрицу B -1 .
Транспонированная матрица B T:
Обратная матрица B -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = A -1 ·C·B -1

Ответ:

Пример №2 . Задание. Решить матричное уравнение
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Определитель матрицы А равен detA=0
Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет.

Пример №3 . Задание. Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: X·A = B.
Определитель матрицы А равен detA=-60
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим справа обе части уравнения на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , откуда находим, что X = B·A -1
Найдем обратную матрицу A -1 .
Транспонированная матрица A T:
Обратная матрица A -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A -1


Ответ: >

Занятие № 1. Матрицы. Операции над матрицами.

1. Что называется матрицей.

2. Какие две матрицы называются равными.

3. Какая матрица называется квадратной, диагональной, единичной.

4. Как выполнить операции сложения матриц и умножение матрицы на число.

5. Для каких матриц вводится операция умножения и правило ее выполнения.

6. Какие преобразования над матрицами являются элементарными.

7. Какую матрицу называют канонической.

Типовые примеры Действия над матрицами

Задача № 1. Даны матрицы

Найти матрицу D=
(1)

Решение. По определению произведения матрица на число получаем:

D=

Задача № 2 . Найти произведение АВ двух квадратных матриц:

Решение. Обе матрицы являются квадратными матрицами 2-го порядка. Такие матрицы можно умножить, используя формулу

Формула (2) имеет следующий смысл: чтобы получить элемент матрицы С = АВ, стоящий на пересечении строки истолбца нужно взять сумму произведений элементов-ой строки матрицы А на соответствующие элементы-го столбца матрицы В.

В соответствии с формулой (2) найдем:

Следовательно, произведение С = АВ будет иметь вид:

Задача № 3. Найти произведение АВ и ВА матриц:

Решение. Согласно формуле (2),элементы матриц АВ и ВА будут иметь вид:

Вывод: Сравнивая матрицы АВ и ВА и пользуясь определением равенства матриц, делаем вывод, что АВВА, т. е. умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

Задача № 4 (устно). Даны матрицы
Существуют ли произведения (в скобках даны правильные ответы): АВ (да), ВА (нет), АС (да), СА (нет), АВС (нет), АСВ (да), СВА (нет).

Задача № 5. Найти произведение АВ и ВА двух матриц вида:

Решение. Приведенные матрицы вида
следовательно, существуют произведения АВ и ВА данных матриц, которые будут иметь вид:

Задача № 6 . Найти произведение АВ матриц:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения:

Даны матрицы

Найти матрицу D=2А-4В+3С.

2. Найти произведения АВ и ВА квадратных матриц:

Найти произведение матриц:

Найти произведение матриц:

7. Найти произведение матриц:

8.Найти матрицу: В=6А 2 +8А, если
.

9. Дана матрица
.Найти все матрицы В, перестановочные с матрицей А.

10. Доказать, что если А - диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, тоже диагональная.

Занятие 2. Определители квадратных матриц и их вычисление. Обратная матрица.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

Что называется определителем n-го порядка? Правила вычисления приn=1,2,3.

Свойства определителей.

Какая матрица называется невырожденной?

Какая матрица называется единичной?

Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

Что является необходимым и достаточным условием для существования обратной матрицы?

Сформулировать правило нахождения обратной матрицы.

Ранг матрицы. Правила нахождения.

Типовые примеры Вычисление определителей

Задача № 1. Вычислить определитель
:

а) по правилу треугольника;

б) с помощью разложения по первой строке;

в) преобразованием, используя свойства определителей.

в)

Задача № 2 . Найти минор и алгебраическое дополнение элементаa 23 определителя
и вычислить его разложением по элементам строки или столбца.

Решение.

М 23
; А 23

Задача № 3. Вычислить определитель с помощью разложения по 2 строке:

Ответ:

Задача № 4. Решить уравнение

Задача № 5. Вычислить определитель 4-го порядка разложением по элементам строки или столбца:

Группа компаний «Оргпром» 2 МИССИЯ Мы содействуем развитию общества, помогая бизнесу и людям увидеть и реализовать свой потенциал через проведение корпоративных программ развития производственных систем Ведущий российский провайдер, оказывающий полный спектр услуг по развитию производственных систем на основе концепции «бережливое производство» (Lean Production, Lean Thinking, Toyota Production System, кайдзен)

Что такое политика Брокгауз и Ефрон: Политика (греч. politikó государственные или общественные дела, от pólis государство) - одна из социальных наук, а именно учение о способах достижения государственных целей. Ушаков: – Общий характер, отличительные черты деятельности или поведения (государства, общественной группы, отдельного лица в той или иной области). Держаться разумной политики. Недальновидная п. Твердая п. Нерешительная п. – перен. Хитрость и уловки в отношениях с людьми, хитрый, уклончивый образ действий (разг.). Я твою политику насквозь вижу. Отец протопоп Савелий начал своею политикой еще более уничтожать меня. Лесков. Словарь по экономике и финансам: Политика предприятия - формулировка целей предприятия и выбор средств для их реализации

«Хосин Канри» - «Развертывание политики», «Управление на основе политики» Типичные проблемы Финансы – Прошло уже полтора месяца! Что откуда? Почему? Клиенты, рынки – Труднодоступная информация Внутренние процессы – Недостаточно знаний по выбору и мониторингу Персонал, инновации – Недостаточно знаний по выбору и мониторингу

Что такое Хосин Канри? Стратегический инструмент исполнения и контроля хода выполнения при управлении изменениями в критичных бизнес процессах. Система развертывания стратегического плана по всей организации. Координирует усилия сотрудников и их деятельность со стратегическими планами.

Зачем развертывать политику? «Кто не знает, куда направляется, очень удивится, попав не туда» Марк Твен «Вы должны на что-то опираться, иначе вы в любом случае упадете» Следствие законов Ньютона и Мэрфи Компании, работники которых понимают их миссию и цели, имеют на 29% большую производительность, в сравнении с другими фирмами Watson Wyatt Work Study

Развертывание политики позволяет Сфокусироваться на разделяемых целях и приоритетах Согласовать цели и приоритеты среди всех лидеров Вовлечь каждого лидера в достижение целей и следование приоритетам Согласовать роль и ответственность каждого члена команды в достижении разделяемых целей Сделать программу РПС - востребованной и увязанной на всех уровнях с актуальными бизнес-целями («вытягивание» вместо «выталкивания»)

Происхождение «Хосин Канри» Словосочетание «Хосин Канри» состоит из четырех иероглифов: – Хо - направление,курс; – Син - игла, стрелка; «Хосин» - компас, направление стрелки компаса – Кан - контроль, управление; – Ри - логика, причина; «Канри» - менеджмент, развертывание, логика управления «Хосин Канри» - «Развертывание политики», «Управление на основе политики»

Развертывание политики Россия, XVII век Необходимо и младшим начальникам постоянно иметь его в мыслях, чтобы вести войска согласно с ним. Мало того, даже батальонные, эскадронные, ротные командиры должны знать его по той же причине, даже унтер-офицеры и рядовые. Каждый воин должен знать свой маневр. Александр Васильевич Суворов Не довольно, чтобы одни главные начальники извещены были о плане действия.

Развертывание политики от А.В. Сувоврова План операционный - в главную армию, в корпус, в колонну! Ясное распределение полков, везде расчет времени Ученье - свет, неученье – тьма За одного битого двух небитых дают Люби солдата, и он будет любить тебя – в этом вся правда Я командую вправо, ты видишь надо влево меня не слушай ты ближний!

Миссия = Предназначение Набор фундаментальных, глубинных причин существования компании\подразделения. Суть, душа. Отражает важность, которую люди придают работе – она определяет их, именно, идеалистические представления. Главная роль миссии – направлять и вдохновлять людей на долгие годы, и даже столетия.

Система ценностей Какими принципами и приоритетами при реализации миссии должны руководствоваться – Менеджмент – Сотрудники Кто заинтересованные стороны (в реализации миссии) – Что они ожидают? – Каков их вклад? ОСНОВА ДЕЛЕГИРОВАНИЯ – Наравне с обучением

Факторы успешности реализации миссии в аспекте баланса интересов 1. Финансы 2. Клиенты 3. Процессы 4. Развитие Качество Точно вовремя Сокращение потерь Качество Точно вовремя Сокращение потерь Безопасность Вовлеченность Развитие персонала Финансы / Рынки Акценты управления Вклад в экосферу

Ежедневный контроль прогресса в достижении результатов При реализации Хосин Ежедневный вал событий и ежеквартальный прессинг получения финансовых результатов не превалируют над стратегическими планами, Наоборот, эта оперативная работа определяется и направляется самими планами (по достижению стратегических целей). Йодзи Акао ДНМКГ ДНМКГ

Управление тремя потоками создания ценности Поток создания ценности Выход потока Потери в потоке Инструменты управления 1) Поток создания потребительской ценности Качество Доставка Себестоимость Довольный заказчик /потом довольные владельцы, сотрудники, поставщики, общество Работа без добавления потр.цен-ти (мура, 7 типов муда, мури) Инструменты Лин (VSM, Just-In-Time, Jidoka, 5S, TPM, VC, SOP, RCA), SCM, … 2) Поток развития талантов Безопасность Вовлеченность Рост Довольный сотрудник/ потом довольный заказчик и общество Работа с угрозой для здоровья или без обучения OHSAS, лидерство, хосин канри, A3, PDCA, SDCA, 5W2H, … 3) Поток создания эко-социума Дивиденды владельцам Сообщество Экологический статус-кво Гармоничный эко-социум/ Затем довольные владельцы, общество и будущие поколения Работа без определения интересов ЗС и их балансировки Отчетность GRI, Natural Step, регулярные совещания с ЗС, … + все вышеперечисленное

Матрица развертывания целей заместителя Гендиректора Оргпром Зам.Генерального директора Миссия: Поток ДеньНеделя МесяцКвартал Год QКачество Выполнение ГУК в срок Коэффициент качества DСроки Доля подразделений в графике (выполняющих суточные задания) Выполнение производственного плана (товар) Выполнение производственного плана (товар) Выполнения плана квартального Выполнение плана годового CСокращение потерь Доля подразделений без дефектов и простоев Выполнение графика ОТМ Количество исполненныых проектов эффективности (расшитых "узких" мест) Количество комплектов на сотрудника Экономический эффект от реализации предложений, проектов и программ повышения эффективности SОхрана труда и безопасность Количество дней без несчастных случаев Доля подразделений без нарушений ОТ и дисциплины Доля подразделений с улучшением оценки по условиям труда, 5С и безопасности Средняя оценка подразделений по условиям труда, 5С и безопасности Доля аттестованных рабочих мест IВовлеченность персонала Количество поданных предложений Реализация предложений (Кол-во реализованных \ Кол- во поданных за последние 3 месяца, %) Доля подразделений с растущим уровнем подачи И реализации Среднее количество реализованных предложений на сотрудника GРазвитие компетенций Выполнение графика обучения (с учетом количества)Средняя зарплата MИнтересы бизнеса Выполнение текущих графиков реконструкции и перевооружения Выполнение текущих графиков компьютеризации, автоматизации, механизации, роботизации AРазвитие партнеров EСоциальное развитие и экология Выполнение плана социальной работы Матрица Периодической Системы Управления Устойчивым Развитием Перспекктива Поток создания потребительсккой ценности (развитие процессов) Поток создания талантливых сотрудников (развитие людей) Поток устойчивого развития бизнеса

Матрица развертывания целей начальника цеха Оргпром Начальник цеха 43 Миссия: Поток ДеньНеделя МесяцКвартал Год QКачество Количество дней без дефектов Количество принятых в работу новыхили усовершенствованных техпроцессов Коэффициент качества DСроки Доля выполняющих задание участков комплекты Выполнение плана номенклатурного Выполнение производственного плана Выполнения плана квартального Выполнение плана годового CСокращение потерь Количество реализуемых и процент выполнения Доля расшитых "узких" мест Экономический эффект Количество комплектов на сотрудника SОхрана труда и безопасность Количество дней без несчастных случаев Выполнение графика обходов Доля участков улучшивших свои показатели по безопастности и 5S Средний балл аудита по безопастности и 5S Доля рабочих мест без вредных условий и опасностей IВовлеченность персонала Количество выявленных возможностей Количество поданных предложений Реализация предложений (Кол- во реализованных \ Кол-во поданных за последние 3 месяца, %) Доля лидеров (подающих И реализующих предложения) Среднее количество реализованных предложений на сотрудника GРазвитие компетенций Выполнение графика обучения Количество наставников Доля рабочих мест, укомплектованных сотрудниками с соответствующими компетенциями Средняя зарплата MИнтересы бизнеса Выполнение графика техперевооружения Доля механизированного труда Мощность цеха в комплектах в год AРазвитие партнеров EСоциальное развитие и экология Выполнение плана социальной работы Поток устойчивого развития бизнеса Перспекктива Матрица Периодической Системы Управления Устойчивым Развитием Мы своевременно изготавливаем качественные фитинги для сборочных цехов Поток создания потребительсккой ценности (развитие процессов) Поток создания талантливых сотрудников (развитие людей)

Матрица развертывания целей начальника участка Оргпром Начальник участка цеха 43 Миссия: Поток ДеньНеделя МесяцКвартал Год QКачество Количество дней без дефектов Доля стабилизированных процессов обработки деталей Выход годного с первого раза DСроки Выполнение сменно- суточных заданий (%) Выполнение плана по номенклатуре Выполнение производственного плана CСокращение потерь Коэффициент полной эффективности оборудования (ОЕЕ) Выполнение нормативного времени на переналадку оборудования (общее время переналадки станков/количество переналадок) SОхрана труда и безопасность Количество дней без травм Количество замечаний по ТБ (2 ступень) Оценка состояния рабочий зоны и рабочих мест (5С) IВовлеченность персонала Количество выявленных возможностей Количество поданных предложений Реализация предложений (Кол- во реализованных \ Кол-во поданных за последние 3 месяца, %) GРазвитие компетенций Доля операторов освоивших быструю переналадку Количество переходов в развитии компетенций (матрица компетенций) MИнтересы бизнеса AРазвитие партнеров EСоциальное развитие и экологияколичество невыходов по причине заболеваний Доля рабочих мест, соответствующих требованиям экологии и безопасности Поток устойчивого развития бизнеса Матрица Периодической Системы Управления Устойчивым Развитием Мы своевременно изготавливаем качественные фитинги для сборочных цехов Перспекктива Поток создания потребительсккой ценности (развитие процессов) Поток создания талантливых сотрудников (развитие людей)

Second Level Hoshin Kanri Primary Responsibility Secondary Responsibility RESOURCES ВТОРОЙ УРОВЕНЬ Danaher Business System Office - Hoshin Kanri 1998 Primary Responsibility Secondary Responsibility Resources ВЫСШИЙ УРОВЕНЬ – Хосин канри и показатели успешности (матрица Оргпрома) для достижения целей предприятия Цели, стратегии развития развернуты и доведены до подразделений Определены ключевые исполнители и индикаторы достижения целей Цели Заготовите льное Мех обработка Агрегатная сборка Сборка Испытания Х-матрицы Доска производственного анализа участка Доска показателей цеха Показатели цехов и участков раскрывают содержание деятельности и степень достижения развернутых целей Рекомендуется использовать в системе вознаграждения

Последовательность Хосин 1. Сформулируйте или уточните философию компании – Предназначение (миссию) Ради чего существует наша компания? – Систему Ценностей Что является и будет являться нашими приоритетами? – Принципы управления На основе каких принципов мы будем обеспечивать эти приоритеты? – Видение будущего компании Какой компанией мы хотим стать? 2. Доведите до персонала, партнеров, общества 3. Неустанно следуйте, согласуйте и сверяйте

Периодическая система управления устойчивым развитием бизнеса Устойчивое развитие бизнес- системы Формули рование и развертывание основ бизнеса Лидерская визуализа ция Гармониза ция и балансиро вка потоков Лидерская стандарти зация Непрерыв- ное обучение действием и решение проблем Формулиров ание и развертывание прорывного видения 1. Периодическое определение состава заинтересованных сторон (ЗС), определение и согласование их ценностей = интересов ЗС (целевых состояний) 2. Периодическое определение и лидерская визуализация потоков создания этих ценностей, потерь в них 3. Периодическая балансировка и гармонизация потоков создания ценностей через сокращение потерь 4. Периодический диалог ЗС и лидерская стандартизация для «вытягивания» соответствующих ценностей 5. Периодическая последовательность в непрерывном совершенствовании и развертывании прорывного видения

, 2008.

Это первое в России практическое пособие по внедрению Хосин канри – одной из наиболее эффективных систем разработки стратегии и развертывания планов внутри компании. Разработать стратегию компании непросто. Но еще сложнее ее реализовать. Ведь для этого необходимо трансформировать ее в конкретные оперативные планы отдельных сотрудников. Как это сделать? Toyota, Bridgestone и Komatsu используют технику Хосин канри. А эта книга – первое в нашей стране практическое руководство по внедрению этой концепции. Книга сопровождается дополнительными материалами в электронном виде. Материалы содержат пустые таблицы, документы и инструкции к их заполнению, которые потребуются хосин-командам при работе. Все материалы размещены на сайте www.icss.ac.ru/books на странице книги «Хосин канри: как заставить стратегию работать».

Что такое хосин канри

Хосин канри для организации может означать многое. Это и метод стратегического планирования, и инструмент управления комплексными проектами, и система управления качеством, позволяющая учитывать требования и пожелания потребителя при разработке новых продуктов, и операционная система компании, обеспечивающая надежный рост прибыли. Это также метод управления на межфункциональном уровне и интеграции цепи поставок в процессе бережливого производства. Но прежде всего хосин канри – это метод организационного обучения и система создания конкурентоспособных ресурсов .

На японском языке иероглифы в слове «канри» означают управление , контроль . Иероглифы в слове «хосин» можно перевести как направление и сияющая игла , а все вместе – как компас . Как правило, эти иероглифы переводятся как политика , поэтому вы часто можете встретить такой перевод хосин канри: управления политикой или развертывания политики. У большинства англоязычных читателей слово политика немедленно вызывает ассоциации с бюрократическим миром, который не имеет ничего общего с организационным обучением. Поэтому в рамках данного руководства мы будем использовать оригинальный японский термин – хосин канри.

Основы хосин канри - встроенные эксперименты, Х-матрица и формирование команд

В этой главе мы исследуем основы хосин канри. В таблице 1-1 (часть 1 , часть 2) приведена «дорожная карта» - поэтапная схема хосин канри (Исследуй - Планируй - Делай - Проверяй - Воздействуй ), которой будут придерживаться различные рабочие группы (или команды), выполняя практические задания по внедрению хосин канри. Как говорилось во введении, данное пособие построено в соответствии с циклом PDCA (Планируй - Делай - Проверяй - Воздействуй ) и логикой поэтапного процесса хосин канри. На этапе «Исследуй» команда выполняет определенную работу, прежде чем приступать к реализации цикла PDCA в рамках хосин канри. На этапе «Планируй» разрабатывается стратегия или последовательность эксперимента, подбираются и формируются команды, а также распределяются обязанности между четырьмя командами, осуществляющими планирование и внедрение. На этапе «Делай» в процессе управления проектами и организации тренингов для персонала происходят подготовка лидеров и внедрение разработанного плана. Этап «Проверяй» предполагает организацию регулярного контроля и оценки. А этап «Воздействуй» направлен на то, чтобы сделать хосин канри частью корпоративной культуры посредством стандартизации и непрерывного совершенствования.

Поэтапная схема хосин канри также указывает на необходимость сформировать команды специалистов, каждая из которых должна отвечать за определенные эксперименты. Таких команд или рабочих групп понадобится несколько. Первая команда, которую вам необходимо создать, - это хосин-команда. Как правило, хосин-команда - это управленческая команда, отвечающая за определенную бизнес-единицу (целую компанию или одно подразделение, филиал, бренд, товарную линию, департамент, рабочий участок или поток ценности). Для удобства изложения мы будем считать управленческую команду командой по управлению хосин, или хосин-командой. Далее в этой главе вы узнаете, как провести отбор участников в хосин-команду.

Вслед за компанией Cybernautx , чей пример мы используем для иллюстрации процесса хосин, будем считать, что управленческая команда отвечает за поток ценности в целом. На самом деле вы можете выбрать любую точку отсчета, соответствующую вашим условиям. Например, командой хосин могут быть партнеры частной акционерной компании, формирующие стратегию увеличения стоимости ее холдингов. Или командой хосин могут быть, как описано в книге «Внедрение системы бережливого менеджмента», директор завода и его непосредственные подчиненные, разрабатывающие программу внедрения TPM (всеобщего ухода за оборудованием). Или же это может быть руководитель отдела с его непосредственными подчиненными, формирующие стратегию усовершенствования отдела. С чего бы вы ни решили начать процесс хосин, в управляющей хосин-команде должна присутствовать основная заинтересованная сторона - представители того бизнес-подразделения, в котором будет разворачиваться хосин или реализовываться формируемая стратегия. Это означает, что команда должна быть многофункциональной (то есть включать в себя представителей различных функциональных подразделений) или - как в примере потока ценности, показанном нами в кейс-исследовании компании Cybernautx, - межорганизационной (то есть включать представителей различных компаний).

Прежде чем формировать команду, компании потребуется исследовать свою бизнес-

среду, чтобы определить проблему или задачу, на решение которой должна быть направлена стратегия. Провести необходимое исследование может хосин-команда или, по вашему выбору, эта функция может быть делегирована специалистам-экспертам. (В нашей книге исследованиями занимается хосин-команда.) После проведенного анализа хосин-команда разрабатывает стратегию и создает Х-матрицу, чтобы компания могла представить свою бизнес-стратегию в экспериментальном формате, включая все семь экспериментов хосин, для решения установленной проблемы или задачи. Разрабатывая стратегию, хосин-команда определяет все стратегически важные элементы, в том числе - первый из семи нижеописанных экспериментов хосин.

Семь экспериментов хосин канри

Конечный результат применения стратегии заранее никому не известен (и этим стратегия похожа на научную гипотезу ), особенно такой динамичной стратегии, которая предполагает совершенствование ваших методов ведения бизнеса. Чтобы узнать, что получится, вам придется ее внедрить. В этом научно-исследовательском контексте ваши планы становятся «экспериментами». Данные «эксперименты», проводимые в контролируемых условиях стандартизированных рабочих процессов , позволяют вовлечь в процесс хосин канри каждого менеджера и каждого работника для проверки гипотезы, т.е. целесообразности избранной вашей компанией стратегии.

Эксперименты хосин канри проводятся сетью рабочих групп, в состав которых входят топ-менеджеры, менеджеры среднего звена и - в обязательном порядке на этапе «Делай» - весь рабочий персонал. У каждого эксперимента цикла PDCA в системе хосин канри - своя задача, которая зависит от продолжительности данного эксперимента и того, как он связан с общими целями организации. В целом чем длиннее цикл, тем выше уровень ответственности в управленческой иерархии. Более того, процесс хосин канри бесконечен. Циклы стратегических улучшений повторяются с периодичностью раз в год. У компаний на начальной стадии преобразований, которые только приступили к внедрению бережливого производства или шести сигм, выполнение первого цикла может занять до 18 месяцев. А компании, движущиеся по этому пути с более высокой скоростью, могут успеть повторить цикл дважды за год, чтобы ускорить процесс организационного обучения.

Как говорилось выше, хосин-команда отвечает за реализацию первых трех экспериментов в системе хосин. На этапе «Планируй» хосин-команда поможет сформировать и распределить обязанности по последним четырем экспериментам между командами трех других типов, каждая из которых будет иметь собственный набор задач по каждому циклу «Планируй - Делай - Проверяй - Воздействуй» . Будет создано несколько тактических команд - приблизительно по одной на каждого члена хосин-команды, много команд оперативных и еще больше команд исполнителей. В финале этапа «Планируй» вы сможете вовлечь в процесс хосин каждого менеджера. В конечном итоге на этапе «Делай» за счет формирования команд исполнителей вы добьетесь участия в процессе хосин всего рабочего коллектива на всех существующих в вашей компании организационных уровнях.

Определители матриц часто используются в вычислениях, в линейной алгебре и аналитической геометрии. Вне академического мира определители матриц постоянно требуются инженерам и программистам, в особенности тем, кто работает с компьютерной графикой. Если вы уже знаете, как найти определитель матрицы размерностью 2x2, то из инструментов для нахождения определителя матрицы 3x3 вам будут необходимы только сложение, вычитание и умножение.

Шаги

Поиск определителя

Запишите матрицу размерностью 3 x 3. Запишем матрицу размерностью 3 x 3, которую обозначим M, и найдем ее определитель |M|. Далее приводится общая форма записи матрицы, которую мы будем использовать, и матрица для нашего примера:

• M = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}}

1. Выберите строку или столбец матрицы. Эта строка (или столбец) будет опорной. Результат будет одинаков, независимо от того, какую строку или какой столбец вы выберете. В данном примере давайте возьмем первую строку. Чуть позже вы найдете несколько советов касательно того, как выбирать строку или столбец, чтобы упростить вычисления.

   • Давайте выберем первую строку матрицы M в нашем примере. Обведите числа 1 5 3. В общей форме обведите a 11 a 12 a 13 .

2. Зачеркните строку или столбец с первым элементом. Обратитесь к опорной строке (или к опорному столбцу) и выберите первый элемент. Проведите горизонтальную и вертикальную черту через этот элемент, вычеркнув таким образом столбец и строку с этим элементом. Должно остаться четыре числа. Будем считать эти элементы новой матрицей размерностью 2 x 2.

   • В нашем примере, опорной строкой будет 1 5 3. Первый элемент находится на пересечении первого столбца и первой строки. Вычеркните строку и столбец с этим элементом, то есть первую сроку и первый столбец. Запишите оставшиеся элементы в виде матрицы 2 x 2 :
   • 1 5 3
   • 2 4 7
   • 4 6 2

3. Найдите определитель матрицы 2 x 2. Запомните, что определитель матрицы (a b c d) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} вычисляется как ad - bc . Опираясь на это, вы можете вычислить определитель полученной матрицы 2 x 2, которую, если хотите, можете обозначить как X. Умножьте два числа матрицы X, соединенных по диагонали слева направо (то есть так: \). Затем вычтите результат умножения двух других чисел по диагонали справа налево (то есть так: /). Используйте эту формулу, чтобы вычислить определитель матрицы, которую вы только что получили.

   Умножьте полученный ответ на выбранный элемент матрицы M. Вспомните, какой элемент из опорной строки (или столбца) мы использовали, когда вычеркивали другие элементы строки и столбца, чтобы получить новую матрицу. Умножьте этот элемент на полученный минор (определитель матрицы 2x2, которую мы обозначили X).

   • В нашем примере мы выбирали элемент a 11 , который равнялся 1. Умножим его на -34 (определитель матрицы 2x2), и у нас получится 1*-34 = -34 .

4. Определите знак полученного результата. Далее вам понадобится умножить полученный результат на 1, либо на -1, чтобы получить алгебраическое дополнение (кофактор) выбранного элемента. Знак кофактора будет зависеть от того, в каком месте матрицы 3x3 стоит элемент. Запомните эту простую схему знаков, чтобы знать знак кофактора:

5. Повторите все вышеописанные действия со вторым элементом опорной строки (или столбца). Вернитесь к исходной матрице размерностью 3x3 и строке, которую мы обвели в самом начале вычислений. Повторите все действия с этим элементом:

   • Вычеркните строку и столбец с этим элементом. В нашем примере мы должны выбрать элемент a 12 (равный 5). Вычеркнем первую строку (1 5 3) и второй столбец (5 4 6) {\displaystyle {\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}} матрицы.
   • Запишите оставшиеся элементы в виде матрицы 2x2. В нашем примере матрица будет иметь вид (2 7 4 2) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}}
   • Найдите определитель этой новой матрицы 2x2. Воспользуйтесь вышеприведенной формулой ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
   • Умножьте полученный определитель на выбранный элемент матрицы 3x3. -24 * 5 = -120
   • Проверьте, нужно ли умножить результат на -1. Воспользуемся формулой (-1) ij , чтобы определить знак алгебраического дополнения. Для выбранного нами элемента a 12 в таблице указан знак «-», аналогичный результат дает и формула. То есть мы должны изменить знак: (-1)*(-120) = 120 .

6. Повторите с третьим элементом. Далее вам понадобится найти еще одно алгебраическое дополнение. Вычислите его для последнего элемента опорной строки или опорного столбца. Далее приводится краткое описание того, как вычисляется алгебраическое дополнение для a 13 в нашем примере:

   • Зачеркните первую строку и третий столбец, чтобы получить матрицу (2 4 4 6) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}}
   • Ее определитель равен 2*6 - 4*4 = -4.
   • Умножьте результат на элемент a 13: -4 * 3 = -12.
   • Элемент a 13 имеет знак + в приведенной выше таблице, поэтому ответ будет -12 .

7. Сложите полученные результаты. Это последний шаг. Вам необходимо сложить полученные алгебраические дополнения элементов опорной строки (или опорного столбца). Сложите их вместе, и вы получите значение определителя матрицы 3x3.

   • В нашем примере определитель равен -34 + 120 + -12 = 74 .

   Как упростить задачу

   1. Выбирайте в качестве опорной строки (или столбца) ту, что имеет больше нулей. Помните, что в качестве опорной вы можете выбрать любую строку или столбец. Выбор опорной строки или столбца не влияет на результат. Если вы выберете строку с наибольшим количеством нулей, вам придется выполнять меньше вычислений, поскольку вам будет необходимо вычислить алгебраические дополнения только для ненулевых элементов. Вот почему:

      • Допустим, вы выбрали 2 строку с элементами a 21 , a 22 , and a 23 . Чтобы найти определитель, вам будет необходимо найти определители трех различных матриц размерностью 2x2. Давайте назовем их A 21 , A 22 , and A 23 .
      • То есть определитель матрицы 3x3 равен a 21 |A 21 | - a 22 |A 22 | + a 23 |A 23 |.
      • Если оба элемента a 22 и a 23 равны 0, то наша формула становится намного короче a 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = a 21 |A 21 | - 0 + 0 = a 21 |A 21 |. То есть необходимо вычислить только алгебраическое дополнение одного элемента.

   2. Используйте сложение строк, чтобы упростить матрицу. Если вы возьмете одну строку и прибавите к ней другую, то определитель матрицы не изменится. То же самое верно и для столбцов. Подобные действия можно выполнять несколько раз, кроме того, вы можете умножать значения строки на постоянную (перед сложением) для того, чтобы получить как можно больше нулей. Подобные действия могут сэкономить массу времени.

      • Например, у нас есть матрица из трех строк: (9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2) {\displaystyle {\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}}
      • Чтобы избавиться от 9 на месте элемента a 11 , мы можем умножить вторую строку на -3 и прибавить результат к первой. Новая первая строка будет + [-9 -3 0] = .
      • То есть мы получаем новую матрицу (0 − 4 2 3 1 0 7 5 − 2) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}} Попробуйте проделать то же самое со столбцами, чтобы получить на месте элемента a 12 нуль.

   3. Помните, что вычислять определитель треугольных матриц намного проще. Определитель треугольных матриц вычисляется как произведение элементов на главной диагонали, от a 11 в верхнем левом углу до a 33 в нижнем правом углу. Речь в данном случае идет о треугольных матрицах размерностью 3x3. Треугольные матрицы могут быть следующих видов, в зависимости от расположения ненулевых значений:

      • Верхняя треугольная матрица: Все ненулевые элементы находятся на главной диагонали и выше нее. Все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
      • Нижняя треугольная матрица: Все ненулевые элементы находятся ниже главной диагонали и на ней.
      • Диагональная матрица: Все ненулевые элементы находятся на главной диагонали. Является частным случаем вышеописанных матриц.
      • Описанный метод распространяется на квадратные матрицы любого ранга. Например, если вы используете его для матрицы 4x4, то после «вычеркивания» будут оставаться матрицы 3x3, для которых определитель будет вычисляться вышеупомянутым способом. Будьте готовы к тому, что вычислять определитель для матриц таких размерностей вручную - очень трудоемкая задача!
      • Если все элементы строки или столбца равны 0, то определитель матрицы тоже равен 0.